Алгебра Примеры

$(- 3, \frac{343}{64})$

Этап 1

Чтобы найти экспоненциальную функцию, $f (x) = a^{x}$ , график которой проходит через заданную точку, приравняем функцию $f (x)$ значению $\frac{343}{64}$ , $y$ в заданной точке, а $x$ приравняем значению $- 3$ , $x$ в заданной точке.

$\frac{343}{64} = a^{- 3}$

Этап 2

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $a^{- 3} = \frac{343}{64}$ .

$a^{- 3} = \frac{343}{64}$

Этап 2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{3}} = \frac{343}{64}$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a^{3}, 64$

Этап 2.3.2

Since $a^{3}, 64$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 64$ then find LCM for the variable part $a^{3}$ .

Этап 2.3.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.3.5

Простыми множителями $64$ являются $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

У $64$ есть множители: $2$ и $32$ .

$2 \cdot 32$

Этап 2.3.5.2

У $32$ есть множители: $2$ и $16$ .

$2 \cdot 2 \cdot 16$

Этап 2.3.5.3

У $16$ есть множители: $2$ и $8$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8$

Этап 2.3.5.4

У $8$ есть множители: $2$ и $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4$

Этап 2.3.5.5

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 2.3.6

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 2.3.6.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 2.3.6.3

Умножим $8$ на $2$ .

$16 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 2.3.6.4

Умножим $16$ на $2$ .

$32 \cdot 2$

Этап 2.3.6.5

Умножим $32$ на $2$ .

$64$

Этап 2.3.7

Множители $a^{3}$ — $a \cdot a \cdot a$ , то есть $a$ , умноженный сам на себя $3$ раз.

$a^{3} = a \cdot a \cdot a$

$a$ встречается $3$ раз.

Этап 2.3.8

НОК $a^{3}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$a \cdot a \cdot a$

Этап 2.3.9

Упростим $a \cdot a \cdot a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Умножим $a$ на $a$ .

$a^{2} \cdot a$

Этап 2.3.9.2

Умножим $a^{2}$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.2.1

Умножим $a^{2}$ на $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.2.1.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$a^{2} \cdot a^{1}$

Этап 2.3.9.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a^{2 + 1}$

Этап 2.3.9.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$a^{3}$

Этап 2.3.10

НОК $a^{3}, 64$ представляет собой произведение числовой части $64$ и переменной части.

$64 a^{3}$

Этап 2.4

Каждый член в $\frac{1}{a^{3}} = \frac{343}{64}$ умножим на $64 a^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{a^{3}} = \frac{343}{64}$ на $64 a^{3}$ .

$\frac{1}{a^{3}} (64 a^{3}) = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$64 \frac{1}{a^{3}} a^{3} = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Этап 2.4.2.2

Объединим $64$ и $\frac{1}{a^{3}}$ .

$\frac{64}{a^{3}} a^{3} = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Этап 2.4.2.3

Сократим общий множитель $a^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{64}{a^{3}} a^{3} = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Этап 2.4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$64 = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Сократим общий множитель $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Вынесем множитель $64$ из $64 a^{3}$ .

$64 = \frac{343}{64} (64 (a^{3}))$

Этап 2.4.3.1.2

Сократим общий множитель.

$64 = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Этап 2.4.3.1.3

Перепишем это выражение.

$64 = 343 a^{3}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $343 a^{3} = 64$ .

$343 a^{3} = 64$

Этап 2.5.2

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$343 a^{3} - 64 = 0$

Этап 2.5.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Перепишем $343 a^{3}$ в виде ${(7 a)}^{3}$ .

${(7 a)}^{3} - 64 = 0$

Этап 2.5.3.2

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

${(7 a)}^{3} - 4^{3} = 0$

Этап 2.5.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 7 a$ и $b = 4$ .

$(7 a - 4) ({(7 a)}^{2} + 7 a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 2.5.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.4.1

Применим правило умножения к $7 a$ .

$(7 a - 4) (7^{2} a^{2} + 7 a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 2.5.3.4.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$(7 a - 4) (49 a^{2} + 7 a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 2.5.3.4.3

Умножим $4$ на $7$ .

$(7 a - 4) (49 a^{2} + 28 a + 4^{2}) = 0$

Этап 2.5.3.4.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(7 a - 4) (49 a^{2} + 28 a + 16) = 0$

Этап 2.5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$7 a - 4 = 0$

$49 a^{2} + 28 a + 16 = 0$

Этап 2.5.5

Приравняем $7 a - 4$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Приравняем $7 a - 4$ к $0$ .

$7 a - 4 = 0$

Этап 2.5.5.2

Решим $7 a - 4 = 0$ относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$7 a = 4$

Этап 2.5.5.2.2

Разделим каждый член $7 a = 4$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.2.1

Разделим каждый член $7 a = 4$ на $7$ .

$\frac{7 a}{7} = \frac{4}{7}$

Этап 2.5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 a}{7} = \frac{4}{7}$

Этап 2.5.5.2.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{4}{7}$

Этап 2.5.6

Приравняем $49 a^{2} + 28 a + 16$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Приравняем $49 a^{2} + 28 a + 16$ к $0$ .

$49 a^{2} + 28 a + 16 = 0$

Этап 2.5.6.2

Решим $49 a^{2} + 28 a + 16 = 0$ относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.6.2.2

Подставим значения $a = 49$ , $b = 28$ и $c = 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $a$ .

$\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot (49 \cdot 16)}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.3.1.1

Возведем $28$ в степень $2$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 49 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 49 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 196 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 196$ на $16$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.3.1.3

Вычтем $3136$ из $784$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.3.1.4

Перепишем $- 2352$ в виде $- 1 (2352)$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (2352)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.3.1.7

Перепишем $2352$ в виде $28^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $784$ из $2352$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.3.1.7.2

Перепишем $784$ в виде $28^{2}$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.3.1.9

Перенесем $28$ влево от $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.3.2

Умножим $2$ на $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$

Этап 2.5.6.2.3.3

Упростим $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{7}$

Этап 2.5.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.4.1.1

Возведем $28$ в степень $2$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 49 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 49 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 196 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 196$ на $16$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.4.1.3

Вычтем $3136$ из $784$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.4.1.4

Перепишем $- 2352$ в виде $- 1 (2352)$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (2352)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.4.1.7

Перепишем $2352$ в виде $28^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $784$ из $2352$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.4.1.7.2

Перепишем $784$ в виде $28^{2}$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.4.1.9

Перенесем $28$ влево от $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.4.2

Умножим $2$ на $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$

Этап 2.5.6.2.4.3

Упростим $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{7}$

Этап 2.5.6.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$a = \frac{- 2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Этап 2.5.6.2.4.5

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Этап 2.5.6.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $2 i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 - (- 2 i \sqrt{3})}{7}$

Этап 2.5.6.2.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - (- 2 i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (2 - 2 i \sqrt{3})}{7}$

Этап 2.5.6.2.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$

Этап 2.5.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.5.1.1

Возведем $28$ в степень $2$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 49 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 49 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 196 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 196$ на $16$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.5.1.3

Вычтем $3136$ из $784$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.5.1.4

Перепишем $- 2352$ в виде $- 1 (2352)$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (2352)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.5.1.7

Перепишем $2352$ в виде $28^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $784$ из $2352$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.5.1.7.2

Перепишем $784$ в виде $28^{2}$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.5.1.9

Перенесем $28$ влево от $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 49}$

Этап 2.5.6.2.5.2

Умножим $2$ на $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$

Этап 2.5.6.2.5.3

Упростим $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{7}$

Этап 2.5.6.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$a = \frac{- 2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$

Этап 2.5.6.2.5.5

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$

Этап 2.5.6.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 - (2 i \sqrt{3})}{7}$

Этап 2.5.6.2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - (2 i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (2 + 2 i \sqrt{3})}{7}$

Этап 2.5.6.2.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Этап 2.5.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$a = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Этап 2.5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(7 a - 4) (49 a^{2} + 28 a + 16) = 0$ верно.

$a = \frac{4}{7}, - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Этап 2.6

Избавимся от всех величин, содержащих мнимые компоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Мнимые компоненты отсутствуют. Добавим $\frac{4}{7}$ к окончательному ответу.

$\frac{4}{7}$ — вещественное число

Этап 2.6.2

Буква $i$ представляет мнимую часть и не является вещественным числом. Не следует добавлять $- \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$ к окончательному ответу.

$- \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$ — не вещественное число

Этап 2.6.3

Буква $i$ представляет мнимую часть и не является вещественным числом. Не следует добавлять $- \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$ к окончательному ответу.

$- \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$ — не вещественное число

Этап 2.6.4

Окончательный ответ ― это список значений, не содержащих мнимых компонентов.

$a = \frac{4}{7}$

Этап 3

Подставим каждое значение $a$ в функцию $f (x) = a^{x}$ , чтобы найти каждую возможную экспоненциальную функцию.

$f (x) = {(\frac{4}{7})}^{x}$