Алгебра Примеры

$f (x) = - 2 x^{4} + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 2 x + 8$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$f (x) = - 2 x^{4} + 2 x + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Этап 2

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x^{4} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x^{4}$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{3} + 2 x + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 2 x$ из $2 x$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{3} - 2 x \cdot - 1 + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x (x^{3}) - 2 x (- 1)$ .

$f (x) = - 2 x (x^{3} - 1) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$f (x) = - 2 x (x^{3} - 1^{3}) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - i^{3} = (a - i) (a^{2} + a i + i^{2})$ , где $a = x$ и $i = 1$ .

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Этап 5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $x$ на $1$ .

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Этап 5.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Этап 5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = - 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Этап 6

Разложим $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 13$

Этап 6.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.\overline{076923}, \pm 8, \pm 0.\overline{615384}, \pm 2, \pm 0.\overline{153846}, \pm 4, \pm 0.\overline{307692}$

Этап 6.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$f (x) = 13 \cdot 1^{3} - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Этап 6.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$f (x) = 13 \cdot 1 - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Этап 6.3.3

Умножим $13$ на $1$ .

$f (x) = 13 - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Этап 6.3.4

Возведем $1$ в степень $2$ .

$f (x) = 13 - 21 \cdot 1 + 8$

Этап 6.3.5

Умножим $- 21$ на $1$ .

$f (x) = 13 - 21 + 8$

Этап 6.3.6

Вычтем $21$ из $13$ .

$f (x) = - 8 + 8$

Этап 6.3.7

Добавим $- 8$ и $8$ .

$f (x) = 0$

Этап 6.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$f (x) = \frac{13 x^{3} - 21 x^{2} + 8}{x - 1}$

Этап 6.5

Разделим $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$f (x) =$

Этап 6.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $13 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 6.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 6.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $13 x^{3} - 13 x^{2}$ .

$f (x) =$

Этап 6.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 6.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 6.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 6.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 6.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x^{2} + 8 x$ .

$f (x) =$

Этап 6.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 6.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 6.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 6.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 6.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x + 8$ .

$f (x) =$

Этап 6.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 6.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$f (x) = 13 x^{2} - 8 x - 8$

Этап 6.6

Запишем $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ в виде набора множителей.

$f (x) = - 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$

Этап 7

Вынесем множитель $x - 1$ из $- 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $- 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1)) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1)) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1) + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Этап 8

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Этап 9.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Этап 9.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{2 + 1} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Этап 9.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Этап 9.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перенесем $x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Этап 9.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Этап 9.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Этап 10

Добавим $- 2 x^{2}$ и $13 x^{2}$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 2 x - 8 x - 8)$

Этап 11

Вычтем $8 x$ из $- 2 x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8)$

Этап 12

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перепишем $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Разложим $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 12.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.5, \pm 8, \pm 4, \pm 2$

Этап 12.1.1.3

Подставим $- 0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Подставим $- 0.5$ в многочлен.

$f (x) = - 2 {(- 0.5)}^{3} + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Этап 12.1.1.3.2

Возведем $- 0.5$ в степень $3$ .

$f (x) = - 2 \cdot - 0.125 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Этап 12.1.1.3.3

Умножим $- 2$ на $- 0.125$ .

$f (x) = 0.25 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Этап 12.1.1.3.4

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$f (x) = 0.25 + 11 \cdot 0.25 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Этап 12.1.1.3.5

Умножим $11$ на $0.25$ .

$f (x) = 0.25 + 2.75 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Этап 12.1.1.3.6

Добавим $0.25$ и $2.75$ .

$f (x) = 3 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Этап 12.1.1.3.7

Умножим $- 10$ на $- 0.5$ .

$f (x) = 3 + 5 - 8$

Этап 12.1.1.3.8

Добавим $3$ и $5$ .

$f (x) = 8 - 8$

Этап 12.1.1.3.9

Вычтем $8$ из $8$ .

$f (x) = 0$

Этап 12.1.1.4

Поскольку $- 0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$f (x) = \frac{- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8}{2 x + 1}$

Этап 12.1.1.5

Разделим $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ на $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1

$f (x) =$

Этап 12.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$f (x) =$

Этап 12.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 12.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{3} - x^{2}$ .

$f (x) =$

Этап 12.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 12.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 12.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$f (x) =$

Этап 12.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 12.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 x^{2} + 6 x$ .

$f (x) =$

Этап 12.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 12.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 12.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 16 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$f (x) =$

Этап 12.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 12.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 16 x - 8$ .

$f (x) =$

Этап 12.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 12.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$f (x) = - x^{2} + 6 x - 8$

Этап 12.1.1.6

Запишем $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ в виде набора множителей.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 6 x - 8))$

Этап 12.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + i x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 8 = 8$ , а сумма — $i = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 6 (x) - 8))$

Этап 12.1.2.1.1.2

Запишем $6$ как $2$ плюс $4$

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + (2 + 4) x - 8))$

Этап 12.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 2 x + 4 x - 8))$

Этап 12.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) ((- x^{2} + 2 x) + 4 x - 8))$

Этап 12.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (x (- x + 2) - 4 (- x + 2)))$

Этап 12.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 2$ .

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) ((- x + 2) (x - 4)))$

Этап 12.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x + 2) (x - 4))$

Этап 12.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x - 1) (2 x + 1) (- x + 2) (x - 4)$