Алгебра Примеры

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[f\left(g\left(y\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(y\right)\right)g\prime \left(y\right)}$, где ${\displaystyle f\left(y\right)=\ln \left(y\right)}$ и ${\displaystyle g\left(y\right)=2x^2-3y^2}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 2x^2-3y^2}$ по ${\displaystyle y}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[2x^2\right]+\frac{d}{dy}[-3y^2]}$.

Поскольку ${\displaystyle 2x^2}$ является константой относительно ${\displaystyle y}$, производная ${\displaystyle 2x^2}$ относительно ${\displaystyle y}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Поскольку ${\displaystyle -3}$ является константой относительно ${\displaystyle y}$, производная ${\displaystyle -3y^2}$ по ${\displaystyle y}$ равна ${\displaystyle -3\frac{d}{dy}\left[y^2\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{y}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=2}$.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle -3}$.

Вычтем ${\displaystyle 6y}$ из ${\displaystyle 0}$.

Объединим ${\displaystyle -6}$ и ${\displaystyle \frac{1}{2x^2-3y^2}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{-6}{2x^2-3y^2}}$ и ${\displaystyle y}$.

Вынесем знак минуса перед дробью.

С помощью ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ запишем ${\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}}$ в виде ${\displaystyle {(x^2+y^2)}^{\frac{1}{2}}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[f\left(g\left(y\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(y\right)\right)g\prime \left(y\right)}$, где ${\displaystyle f\left(y\right)=\tan \left(y\right)}$ и ${\displaystyle g\left(y\right)={(x^2+y^2)}^{\frac{1}{2}}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[f\left(g\left(y\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(y\right)\right)g\prime \left(y\right)}$, где ${\displaystyle f\left(y\right)=y^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(y\right)=x^2+y^2}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle x^2+y^2}$ по ${\displaystyle y}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[x^2\right]+\frac{d}{dy}\left[y^2\right]}$.

Поскольку ${\displaystyle x^2}$ является константой относительно ${\displaystyle y}$, производная ${\displaystyle x^2}$ относительно ${\displaystyle y}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{y}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=2}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Добавим ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 2y}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ и ${\displaystyle {(x^2+y^2)}^{-\frac{1}{2}}}$.

Объединим ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle \frac{{(x^2+y^2)}^{-\frac{1}{2}}}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{2{(x^2+y^2)}^{-\frac{1}{2}}}{2}}$ и ${\displaystyle y}$.

Перенесем ${\displaystyle {(x^2+y^2)}^{-\frac{1}{2}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Сократим общий множитель.

Перепишем это выражение.

Объединим ${\displaystyle {\sec }^2\left({(x^2+y^2)}^{\frac{1}{2}}\right)}$ и ${\displaystyle \frac{y}{{(x^2+y^2)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Поскольку ${\displaystyle x}$ является константой относительно ${\displaystyle y}$, производная ${\displaystyle \frac{x}{y^2}}$ по ${\displaystyle y}$ равна ${\displaystyle x\frac{d}{dy}\left[\frac{1}{y^2}\right]}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{y^2}}$ в виде ${\displaystyle {\left(y^2\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[f\left(g\left(y\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(y\right)\right)g\prime \left(y\right)}$, где ${\displaystyle f\left(y\right)=y^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(y\right)=y^2}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{y}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=2}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left(y^2\right)}^{-2}}$.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle -1}$.

Возведем ${\displaystyle y}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Применим правило степени ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ для объединения показателей.

Вычтем ${\displaystyle 4}$ из ${\displaystyle 1}$.

Объединим ${\displaystyle -2}$ и ${\displaystyle \frac{1}{y^3}}$.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle \frac{2}{y^3}}$.

Перенесем ${\displaystyle 2}$ влево от ${\displaystyle x}$.