Алгебра Примеры

$\cot (- \frac{7 π}{12})$

Этап 1

Заменим $\cot (- \frac{7 π}{12})$ на эквивалентное выражение $\frac{1}{\tan (- \frac{7 π}{12})}$ , используя фундаментальные тождества.

$\frac{1}{\tan (- \frac{7 π}{12})}$

Этап 2

Используем в знаменателе формулу суммы или разностную формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сначала представим угол в виде суммы двух углов, для которых известны значения тригонометрических функций. В этом случае $- \frac{7 π}{12}$ можно разделить на $\frac{π}{4} - \frac{5 π}{6}$ .

$\frac{1}{\tan (\frac{π}{4} - \frac{5 π}{6})}$

Этап 2.2

Используем формулу тангенса разности, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Этап 2.3

Избавимся от скобок.

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \tan (\frac{5 π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Этап 2.4.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный во втором квадранте.

$\frac{1}{\frac{1 + \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Этап 2.4.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Этап 2.4.4

Умножим $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{3}}{3})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Этап 2.4.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Этап 2.4.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Этап 2.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Этап 2.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Этап 2.5.2

Умножим $\tan (\frac{5 π}{6})$ на $1$ .

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Этап 2.5.3

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6})}}$

Этап 2.5.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}}$

Этап 2.5.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}}$

Этап 2.5.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}}$

Этап 2.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}}$

Этап 2.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}}$

Этап 2.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}})}$

Этап 2.8

Умножим $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ на $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})}$

Этап 2.9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ на $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})})}$

Этап 2.9.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}})}$

Этап 2.9.3

Упростим.

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Этап 2.9.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3 (\frac{3 + \sqrt{3}}{6}) + \sqrt{3} (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Этап 2.9.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.5.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{1}{3 (\frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)}) + \sqrt{3} (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Этап 2.9.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3 (\frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2}) + \sqrt{3} (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Этап 2.9.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Этап 2.9.6

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}}$

Этап 2.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}}$

Этап 2.10.2

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}}$

Этап 2.10.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}}$

Этап 2.10.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}}$

Этап 2.10.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}}$

Этап 2.10.4.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + 3}{6}}$

Этап 2.10.5

Сократим общий множитель $3 \sqrt{3} + 3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6}}$

Этап 2.10.5.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6}}$

Этап 2.10.5.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6}}$

Этап 2.10.5.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)}}$

Этап 2.10.5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2}}$

Этап 2.10.5.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2}}$

Этап 2.11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}}$

Этап 2.11.2

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{1}{\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}}$

Этап 2.11.3

Добавим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}}$

Этап 2.11.4

Сократим общий множитель $4 + 2 \sqrt{3}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}}$

Этап 2.11.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}}$

Этап 2.11.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}}$

Этап 2.11.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}}$

Этап 2.11.4.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}}$

Этап 2.11.4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{2 + \sqrt{3}}{1}}$

Этап 2.11.4.4.4

Разделим $2 + \sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ на $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ на $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}$

Этап 3.3

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Этап 3.5

Разделим $2 - \sqrt{3}$ на $1$ .

$2 - \sqrt{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$0.26794919 \dots$