Алгебра Примеры

$f (x) = {({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перемножим экспоненты в ${({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot 16}]$

Этап 1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot (4 (4))}]$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot (4 \cdot 4)}]$

Этап 1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{x \cdot 4}]$

Этап 1.1.3

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = {1.25}^{x}$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [{1.25}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $1.25$ .

${1.25}^{u} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) (4 \cdot 1)$

Этап 1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) \cdot 4$

Этап 1.3.3.2

Перенесем $4$ влево от ${1.25}^{4 x} \ln (1.25)$ .

$f' (x) = 4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln (1.25)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4 \ln (1.25)$ является константой относительно $x$ , производная $4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln (1.25)$ по $x$ равна $4 \ln (1.25) \frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$ .

$4 \ln (1.25) \frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$4 \ln (1.25) (\frac{d}{d u} [{1.25}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.2.2

$4 \ln (1.25) ({1.25}^{u} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$4 \ln (1.25) ({1.25}^{4 x} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.3

Возведем $\ln (1.25)$ в степень $1$ .

$4 ({1.25}^{4 x} (\ln^{1} (1.25) \ln (1.25)) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.4

Возведем $\ln (1.25)$ в степень $1$ .

$4 ({1.25}^{4 x} (\ln^{1} (1.25) \ln^{1} (1.25)) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 ({1.25}^{4 x} {\ln (1.25)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$4 ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.8

Умножим $4$ на $4$ .

$16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \cdot 1$

Этап 2.10

Умножим $16$ на $1$ .

$f'' (x) = 16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25)$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $16 \cdot ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25))$ .

$16 \cdot ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25))$