Алгебра Примеры

$f (x) = 2 e^{x} - 3 x e^{x}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2 e^{x} - 3 x e^{x} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 e^{x} d x + \int - 3 x e^{x} d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int e^{x} d x + \int - 3 x e^{x} d x$

Этап 5

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$2 (e^{x} + C) + \int - 3 x e^{x} d x$

Этап 6

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$2 (e^{x} + C) - 3 \int x e^{x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$2 (e^{x} + C) - 3 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Этап 8

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$2 (e^{x} + C) - 3 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$2 e^{x} - 3 x e^{x} + 3 e^{x} + C$

Этап 9.2

Добавим $2 e^{x}$ и $3 e^{x}$ .

$- 3 x e^{x} + 5 e^{x} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2 e^{x} - 3 x e^{x}$ .

$F (x) =$ $- 3 x e^{x} + 5 e^{x} + C$