Алгебра Примеры

$y = \sqrt[3]{x + 1}$ ; $[- 1, 7]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\sqrt[3]{x + 1} = 0$

Этап 1.2

Решим $\sqrt[3]{x + 1} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{x + 1}}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.2.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Упростим ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 1.2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 1.2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 1)}^{1} = 0^{3}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Упростим.

$x + 1 = 0^{3}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.3

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(- 1, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{7} \sqrt[3]{x + 1} d x - \int_{- 1}^{7} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{7} \sqrt[3]{x + 1} - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $\sqrt[3]{x + 1}$ .

$\int_{- 1}^{7} \sqrt[3]{x + 1} d x$

Этап 3.3

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 3.3.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 1$ .

$u_{lower} = - 1 + 1$

Этап 3.3.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 3.3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Этап 3.3.5

Добавим $7$ и $1$ .

$u_{upper} = 8$

Этап 3.3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Этап 3.3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Этап 3.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$

Этап 3.6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Найдем значение $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ в $8$ и в $0$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.6.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.6.2.4

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.6.2.5

Объединим $\frac{3}{4}$ и $16$ .

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.6.2.6

Умножим $3$ на $16$ .

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.6.2.7

Сократим общий множитель $48$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.7.1

Вынесем множитель $4$ из $48$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.6.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.6.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.6.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.6.2.7.2.4

Разделим $12$ на $1$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.6.2.8

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.6.2.9

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Этап 3.6.2.10

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.10.1

Сократим общий множитель.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Этап 3.6.2.10.2

Перепишем это выражение.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{4}$

Этап 3.6.2.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0$

Этап 3.6.2.12

Умножим $0$ на $- 1$ .

$12 + 0 (\frac{3}{4})$

Этап 3.6.2.13

Умножим $0$ на $\frac{3}{4}$ .

$12 + 0$

Этап 3.6.2.14

Добавим $12$ и $0$ .

$12$

Этап 4