Алгебра Примеры

$x^{5} - 3 x^{4} + 4 x^{3} - 32 x + 48$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$- 3 x^{4} + 48 + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Этап 2

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{4} + 48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{4}$ .

$- 3 (x^{4}) + 48 + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 3$ из $48$ .

$- 3 (x^{4}) - 3 (- 16) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (x^{4}) - 3 (- 16)$ .

$- 3 (x^{4} - 16) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Этап 3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 ({(x^{2})}^{2} - 16) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Этап 4

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$- 3 ({(x^{2})}^{2} - 4^{2}) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Этап 5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , где $a = x^{2}$ и $i = 4$ .

$- 3 ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4)) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Этап 6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- 3 ((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2})) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Этап 6.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , где $a = x$ и $i = 2$ .

$- 3 ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2))) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Этап 6.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Этап 6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Этап 7

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x \cdot x^{4} + 4 x^{3} - 32 x$

Этап 7.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{3}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x \cdot x^{4} + x (4 x^{2}) - 32 x$

Этап 7.3

Вынесем множитель $x$ из $- 32 x$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x \cdot x^{4} + x (4 x^{2}) + x \cdot - 32$

Этап 7.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x (4 x^{2})$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x^{4} + 4 x^{2}) + x \cdot - 32$

Этап 7.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{4} + 4 x^{2}) + x \cdot - 32$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x^{4} + 4 x^{2} - 32)$

Этап 8

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ({(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} - 32)$

Этап 9

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (u^{2} + 4 u - 32)$

Этап 10

Разложим $u^{2} + 4 u - 32$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Рассмотрим форму $x^{2} + i x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $i$ . В данном случае произведение чисел равно $- 32$ , а сумма — $4$ .

$- 4, 8$

Этап 10.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((u - 4) (u + 8))$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 8))$

Этап 12

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 8))$

Этап 13

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8))$

Этап 13.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$

Этап 14

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4)) + x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$

Этап 14.2

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4)) + (x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 8))$

Этап 14.3

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4)) + (x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 8))$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4) + (x) (x^{2} + 8))$

Этап 15

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 3 \cdot 4 + (x) (x^{2} + 8))$

Этап 16

Умножим $- 3$ на $4$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + (x) (x^{2} + 8))$

Этап 17

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x \cdot x^{2} + x \cdot 8)$

Этап 18

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{1} x^{2} + x \cdot 8)$

Этап 18.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{1 + 2} + x \cdot 8)$

Этап 18.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{3} + x \cdot 8)$

Этап 19

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{3} + 8 x)$

Этап 20

Изменим порядок членов.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12)$

Этап 21

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Разложим $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 21.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Этап 21.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 12$

Этап 21.1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 - 3 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 12$

Этап 21.1.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 + 8 \cdot 2 - 12$

Этап 21.1.3.4

Умножим $- 3$ на $4$ .

$8 - 12 + 8 \cdot 2 - 12$

Этап 21.1.3.5

Вычтем $12$ из $8$ .

$- 4 + 8 \cdot 2 - 12$

Этап 21.1.3.6

Умножим $8$ на $2$ .

$- 4 + 16 - 12$

Этап 21.1.3.7

Добавим $- 4$ и $16$ .

$12 - 12$

Этап 21.1.3.8

Вычтем $12$ из $12$ .

$0$

Этап 21.1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12}{x - 2}$

Этап 21.1.5

Разделим $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$8 x$

$12$

Этап 21.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$

Этап 21.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 21.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 21.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 21.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$

Этап 21.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$

Этап 21.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 21.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} + 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

Этап 21.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$

Этап 21.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Этап 21.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Этап 21.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Этап 21.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x - 12$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Этап 21.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$
										$0$

Этап 21.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x + 6$

Этап 21.1.6

Запишем $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ в виде набора множителей.

$(x + 2) (x - 2) ((x - 2) (x^{2} - x + 6))$

Этап 21.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x - 2) (x - 2) (x^{2} - x + 6)$

Этап 22

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$(x + 2) ({(x - 2)}^{1} (x - 2)) (x^{2} - x + 6)$

Этап 22.2

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$(x + 2) ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}) (x^{2} - x + 6)$

Этап 22.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1} (x^{2} - x + 6)$

Этап 22.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x^{2} - x + 6)$