Алгебра Примеры

$\sqrt[3]{2} (\cos (120) + i \sin (120))$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\sqrt[3]{2} (- \cos (60) + i \sin (120))$

Этап 1.2

Точное значение $\cos (60)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2} + i \sin (120))$

Этап 1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2} + i \sin (60))$

Этап 1.4

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 1.5

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2}) + \sqrt[3]{2} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2

Объединим $\sqrt[3]{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \sqrt[3]{2} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3

Умножим $\sqrt[3]{2} \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\sqrt[3]{2}$ и $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} (i \sqrt{3})}{2}$

Этап 3.2

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{3^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} i}{2}$

Этап 3.2.2

Перепишем $3^{\frac{1}{2}}$ в виде $3^{\frac{3}{6}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{3^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{2} i}{2}$

Этап 3.2.3

Перепишем $3^{\frac{3}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{3^{3}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3}} \sqrt[3]{2} i}{2}$

Этап 3.2.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2}$ в виде $2^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} i}{2}$

Этап 3.2.5

Перепишем $2^{\frac{1}{3}}$ в виде $2^{\frac{2}{6}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3}} \cdot 2^{\frac{2}{6}} i}{2}$

Этап 3.2.6

Перепишем $2^{\frac{2}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{2^{2}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3}} \sqrt[6]{2^{2}} i}{2}$

Этап 3.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3} \cdot 2^{2}} i}{2}$

Этап 3.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{27 \cdot 2^{2}} i}{2}$

Этап 3.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{27 \cdot 4} i}{2}$

Этап 3.6

Умножим $27$ на $4$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{108} i}{2}$