Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{2} x^{2}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.3.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{2}$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.3.4

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.3.5

Объединим $\frac{6}{2}$ и $x$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.3.6

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = x^{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.3.6.2.4

Разделим $3 x$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.4.3

Умножим $8$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 + 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $x^{2} + 3 x + 8$ и $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 3 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 + 0$

Этап 1.2.3.2

Добавим $2 x + 3$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 3$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x + 3$ .

$2 x + 3$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x + 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 2.3

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- \frac{3}{2}$ в $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{27}{2^{3}}) + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{27}{8}) + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{27}{8}$ в числитель.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{- 27}{8} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.5.2

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (- 9)}{8} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot - 9}{8} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9}{8} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3}{2} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3}{2} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3}{2} \cdot (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.9

Умножим $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.10

Объединим.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3 \cdot 3^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.11

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.11.1

Умножим $3$ на $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.11.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3 \cdot 3^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.11.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3^{1 + 2}}{2 \cdot 2^{2}} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.11.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3^{3}}{2 \cdot 2^{2}} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.12

Умножим $2$ на $2^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.12.1

Умножим $2$ на $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.12.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3^{3}}{2 \cdot 2^{2}} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.12.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3^{3}}{2^{1 + 2}} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.12.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{3^{3}}{2^{3}} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.13

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{27}{2^{3}} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.14

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{27}{8} + 8 (- \frac{3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.15.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{27}{8} + 8 (\frac{- 3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.15.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{27}{8} + 2 (4) (\frac{- 3}{2}) - 4$

Этап 3.1.2.1.15.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{27}{8} + 2 \cdot (4 (\frac{- 3}{2})) - 4$

Этап 3.1.2.1.15.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{27}{8} + 4 \cdot - 3 - 4$

Этап 3.1.2.1.16

Умножим $4$ на $- 3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{8} + \frac{27}{8} - 12 - 4$

Этап 3.1.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3}{2}) = - 12 - 4 + \frac{- 9 + 27}{8}$

Этап 3.1.2.2.2

Добавим $- 9$ и $27$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 12 - 4 + \frac{18}{8}$

Этап 3.1.2.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Запишем $- 12$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12}{1} - 4 + \frac{18}{8}$

Этап 3.1.2.3.2

Умножим $\frac{- 12}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12}{1} \cdot \frac{8}{8} - 4 + \frac{18}{8}$

Этап 3.1.2.3.3

Умножим $\frac{- 12}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12 \cdot 8}{8} - 4 + \frac{18}{8}$

Этап 3.1.2.3.4

Запишем $- 4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{1} + \frac{18}{8}$

Этап 3.1.2.3.5

Умножим $\frac{- 4}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{18}{8}$

Этап 3.1.2.3.6

Умножим $\frac{- 4}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12 \cdot 8}{8} + \frac{- 4 \cdot 8}{8} + \frac{18}{8}$

Этап 3.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12 \cdot 8 - 4 \cdot 8 + 18}{8}$

Этап 3.1.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Умножим $- 12$ на $8$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 96 - 4 \cdot 8 + 18}{8}$

Этап 3.1.2.5.2

Умножим $- 4$ на $8$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 96 - 32 + 18}{8}$

Этап 3.1.2.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Вычтем $32$ из $- 96$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 128 + 18}{8}$

Этап 3.1.2.6.2

Добавим $- 128$ и $18$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 110}{8}$

Этап 3.1.2.6.3

Сократим общий множитель $- 110$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 110$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{2 (- 55)}{8}$

Этап 3.1.2.6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{2 \cdot - 55}{2 \cdot 4}$

Этап 3.1.2.6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{2 \cdot - 55}{2 \cdot 4}$

Этап 3.1.2.6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 55}{4}$

Этап 3.1.2.6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{55}{4}$

Этап 3.1.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{55}{4}$ .

$- \frac{55}{4}$

Этап 3.2

Подставляя $- \frac{3}{2}$ в $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$ , найдем точку $(- \frac{3}{2}, - \frac{55}{4})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \frac{3}{2}, - \frac{55}{4})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{3}{2})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.6$ .

$f'' (- 1.6) = 2 (- 1.6) + 3$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2$ на $- 1.6$ .

$f'' (- 1.6) = - 3.2 + 3$

Этап 5.2.2

Добавим $- 3.2$ и $3$ .

$f'' (- 1.6) = - 0.2$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 0.2$ .

$- 0.2$

Этап 5.3

При $- 1.6$ вторая производная имеет вид $- 0.2$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - \frac{3}{2})$ .

Убывание на $(- \infty, - \frac{3}{2})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \frac{3}{2}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.4$ .

$f'' (- 1.4) = 2 (- 1.4) + 3$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $2$ на $- 1.4$ .

$f'' (- 1.4) = - 2.8 + 3$

Этап 6.2.2

Добавим $- 2.8$ и $3$ .

$f'' (- 1.4) = 0.2$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $0.2$ .

$0.2$

Этап 6.3

При $- 1.4$ вторая производная имеет вид $0.2$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \frac{3}{2}, \infty)$ .

Возрастание в области $(- \frac{3}{2}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(- \frac{3}{2}, - \frac{55}{4})$ .

$(- \frac{3}{2}, - \frac{55}{4})$

Этап 8