Алгебра Примеры

$60 x^{4} + 86 x^{3} - 46 x^{2} - 43 x + 8$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем члены.

$86 x^{3} - 43 x + 60 x^{4} - 46 x^{2} + 8 = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $43 x$ из $86 x^{3} - 43 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $43 x$ из $86 x^{3}$ .

$43 x (2 x^{2}) - 43 x + 60 x^{4} - 46 x^{2} + 8 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $43 x$ из $- 43 x$ .

$43 x (2 x^{2}) + 43 x (- 1) + 60 x^{4} - 46 x^{2} + 8 = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $43 x$ из $43 x (2 x^{2}) + 43 x (- 1)$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 60 x^{4} - 46 x^{2} + 8 = 0$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $60 x^{4} - 46 x^{2} + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $60 x^{4}$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 x^{4}) - 46 x^{2} + 8 = 0$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 46 x^{2}$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 x^{4}) + 2 (- 23 x^{2}) + 8 = 0$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 x^{4}) + 2 (- 23 x^{2}) + 2 (4) = 0$

Этап 1.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (30 x^{4}) + 2 (- 23 x^{2})$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 x^{4} - 23 x^{2}) + 2 (4) = 0$

Этап 1.3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (30 x^{4} - 23 x^{2}) + 2 (4)$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 x^{4} - 23 x^{2} + 4) = 0$

Этап 1.4

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 {(x^{2})}^{2} - 23 x^{2} + 4) = 0$

Этап 1.5

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 u^{2} - 23 u + 4) = 0$

Этап 1.6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 30 \cdot 4 = 120$ , а сумма — $b = - 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Вынесем множитель $- 23$ из $- 23 u$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 u^{2} - 23 u + 4) = 0$

Этап 1.6.1.2

Запишем $- 23$ как $- 8$ плюс $- 15$

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 u^{2} + (- 8 - 15) u + 4) = 0$

Этап 1.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 u^{2} - 8 u - 15 u + 4) = 0$

Этап 1.6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 ((30 u^{2} - 8 u) - 15 u + 4) = 0$

Этап 1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (2 u (15 u - 4) - (15 u - 4)) = 0$

Этап 1.6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $15 u - 4$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 ((15 u - 4) (2 u - 1)) = 0$

Этап 1.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 ((15 x^{2} - 4) (2 x^{2} - 1)) = 0$

Этап 1.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (15 x^{2} - 4) (2 x^{2} - 1) = 0$

Этап 1.8

Вынесем множитель $2 x^{2} - 1$ из $43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (15 x^{2} - 4) (2 x^{2} - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем множитель $2 x^{2} - 1$ из $43 x (2 x^{2} - 1)$ .

$(2 x^{2} - 1) (43 x) + 2 (15 x^{2} - 4) (2 x^{2} - 1) = 0$

Этап 1.8.2

Вынесем множитель $2 x^{2} - 1$ из $2 (15 x^{2} - 4) (2 x^{2} - 1)$ .

$(2 x^{2} - 1) (43 x) + (2 x^{2} - 1) (2 (15 x^{2} - 4)) = 0$

Этап 1.8.3

Вынесем множитель $2 x^{2} - 1$ из $(2 x^{2} - 1) (43 x) + (2 x^{2} - 1) (2 (15 x^{2} - 4))$ .

$(2 x^{2} - 1) (43 x + 2 (15 x^{2} - 4)) = 0$

Этап 1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x^{2} - 1) (43 x + 2 (15 x^{2}) + 2 \cdot - 4) = 0$

Этап 1.10

Умножим $15$ на $2$ .

$(2 x^{2} - 1) (43 x + 30 x^{2} + 2 \cdot - 4) = 0$

Этап 1.11

Умножим $2$ на $- 4$ .

$(2 x^{2} - 1) (43 x + 30 x^{2} - 8) = 0$

Этап 1.12

Изменим порядок членов.

$(2 x^{2} - 1) (30 x^{2} + 43 x - 8) = 0$

Этап 1.13

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 30 \cdot - 8 = - 240$ , а сумма — $b = 43$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1.1.1

Вынесем множитель $43$ из $43 x$ .

$(2 x^{2} - 1) (30 x^{2} + 43 (x) - 8) = 0$

Этап 1.13.1.1.2

Запишем $43$ как $- 5$ плюс $48$

$(2 x^{2} - 1) (30 x^{2} + (- 5 + 48) x - 8) = 0$

Этап 1.13.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x^{2} - 1) (30 x^{2} - 5 x + 48 x - 8) = 0$

Этап 1.13.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} - 1) ((30 x^{2} - 5 x) + 48 x - 8) = 0$

Этап 1.13.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(2 x^{2} - 1) (5 x (6 x - 1) + 8 (6 x - 1)) = 0$

Этап 1.13.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $6 x - 1$ .

$(2 x^{2} - 1) ((6 x - 1) (5 x + 8)) = 0$

Этап 1.13.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x^{2} - 1) (6 x - 1) (5 x + 8) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

$6 x - 1 = 0$

$5 x + 8 = 0$

Этап 3

Приравняем $2 x^{2} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 x^{2} - 1$ к $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $2 x^{2} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} = 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $2 x^{2} = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 3.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.2.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 3.2.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.2.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.2.4.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.2.4.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.2.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.2.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.2.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.2.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.2.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4

Приравняем $6 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $6 x - 1$ к $0$ .

$6 x - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $6 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$6 x = 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $6 x = 1$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $6 x = 1$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{6}$

Этап 5

Приравняем $5 x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $5 x + 8$ к $0$ .

$5 x + 8 = 0$

Этап 5.2

Решим $5 x + 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$5 x = - 8$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $5 x = - 8$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = - 8$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 8}{5}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 8}{5}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{5}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{8}{5}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x^{2} - 1) (6 x - 1) (5 x + 8) = 0$ верно.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{6}, - \frac{8}{5}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{6}, - \frac{8}{5}$

Десятичная форма:

$x = 0.70710678 \dots, - 0.70710678 \dots, 0.1\overline{6}, - 1.6$

Форма смешанных чисел:

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{6}, - 1 \frac{3}{5}$

Этап 8