Алгебра Примеры

$2 + \frac{4}{5} + \frac{8}{25} + \frac{16}{125}$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $\frac{2}{5}$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = \frac{2}{5}$

Этап 2

Это формула геометрической прогрессии.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Этап 3

Подставим в значения $a_{1} = 2$ и $r = \frac{2}{5}$ .

$a_{n} = 2 {(\frac{2}{5})}^{n - 1}$

Этап 4

Применим правило умножения к $\frac{2}{5}$ .

$a_{n} = 2 \frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Этап 5

Умножим $2 \frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $2$ и $\frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{2 \cdot 2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $2^{n - 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2$ на $2^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Этап 5.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a_{n} = \frac{2^{1 + n - 1}}{5^{n - 1}}$

Этап 5.2.2

Объединим противоположные члены в $1 + n - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{n + 0}}{5^{n - 1}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $n$ и $0$ .

$a_{n} = \frac{2^{n}}{5^{n - 1}}$

Этап 6

Это формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. Для ее вычисления найдем значения $r$ и $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Этап 7

Заменим переменные известными величинами, чтобы найти $S_{4}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{{(\frac{2}{5})}^{4} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило умножения к $\frac{2}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{2^{4}}{5^{4}} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Этап 8.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{5^{4}} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Этап 8.3

Возведем $5$ в степень $4$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Этап 8.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{625}{625}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} - 1 \cdot \frac{625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Этап 8.5

Объединим $- 1$ и $\frac{625}{625}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} + \frac{- 1 \cdot 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Этап 8.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16 - 1 \cdot 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Этап 8.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Умножим $- 1$ на $625$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16 - 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Этап 8.7.2

Вычтем $625$ из $16$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{- 609}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Этап 8.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Этап 9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Этап 9.2

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Этап 9.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}}$

Этап 9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2 - 5}{5}}$

Этап 9.4.2

Вычтем $5$ из $2$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{- 3}{5}}$

Этап 9.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{- \frac{3}{5}}$

Этап 10

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{609}{625}}{\frac{3}{5}}$

Этап 11

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{609}{625} \cdot \frac{5}{3})$

Этап 12

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $3$ из $609$ .

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{3 (203)}{625} \cdot \frac{5}{3})$

Этап 12.2

Сократим общий множитель.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{3 \cdot 203}{625} \cdot \frac{5}{3})$

Этап 12.3

Перепишем это выражение.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{625} \cdot 5)$

Этап 13

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $5$ из $625$ .

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{5 (125)} \cdot 5)$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{5 \cdot 125} \cdot 5)$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{203}{125}$

Этап 14

Умножим $2 (\frac{203}{125})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $2$ и $\frac{203}{125}$ .

$S_{4} = \frac{2 \cdot 203}{125}$

Этап 14.2

Умножим $2$ на $203$ .

$S_{4} = \frac{406}{125}$