Алгебра Примеры

$x^{5} - 10 x^{4} + 42 x^{3} - 124 x^{2} + 297 x - 306$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 17, \pm 18, \pm 34, \pm 51, \pm 102, \pm 153, \pm 306$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 17, \pm 18, \pm 34, \pm 51, \pm 102, \pm 153, \pm 306$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(2)}^{5} - 10 {(2)}^{4} + 42 {(2)}^{3} - 124 {(2)}^{2} + 297 (2) - 306$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $2$ в степень $5$ .

$32 - 10 {(2)}^{4} + 42 {(2)}^{3} - 124 {(2)}^{2} + 297 (2) - 306$

Этап 4.1.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$32 - 10 \cdot 16 + 42 {(2)}^{3} - 124 {(2)}^{2} + 297 (2) - 306$

Этап 4.1.3

Умножим $- 10$ на $16$ .

$32 - 160 + 42 {(2)}^{3} - 124 {(2)}^{2} + 297 (2) - 306$

Этап 4.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$32 - 160 + 42 \cdot 8 - 124 {(2)}^{2} + 297 (2) - 306$

Этап 4.1.5

Умножим $42$ на $8$ .

$32 - 160 + 336 - 124 {(2)}^{2} + 297 (2) - 306$

Этап 4.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$32 - 160 + 336 - 124 \cdot 4 + 297 (2) - 306$

Этап 4.1.7

Умножим $- 124$ на $4$ .

$32 - 160 + 336 - 496 + 297 (2) - 306$

Этап 4.1.8

Умножим $297$ на $2$ .

$32 - 160 + 336 - 496 + 594 - 306$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $160$ из $32$ .

$- 128 + 336 - 496 + 594 - 306$

Этап 4.2.2

Добавим $- 128$ и $336$ .

$208 - 496 + 594 - 306$

Этап 4.2.3

Вычтем $496$ из $208$ .

$- 288 + 594 - 306$

Этап 4.2.4

Добавим $- 288$ и $594$ .

$306 - 306$

Этап 4.2.5

Вычтем $306$ из $306$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{5} - 10 x^{4} + 42 x^{3} - 124 x^{2} + 297 x - 306}{x - 2}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$2$	$1$	$- 10$	$42$	$- 124$	$297$	$- 306$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$2$	$1$	$- 10$	$42$	$- 124$	$297$	$- 306$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(- 10)$ .

$2$	$1$	$- 10$	$42$	$- 124$	$297$	$- 306$
		$2$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$- 10$	$42$	$- 124$	$297$	$- 306$
		$2$
	$1$	$- 8$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 8)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(- 16)$ под следующим членом делимого $(42)$ .

$2$	$1$	$- 10$	$42$	$- 124$	$297$	$- 306$
		$2$	$- 16$
	$1$	$- 8$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$- 10$	$42$	$- 124$	$297$	$- 306$
		$2$	$- 16$
	$1$	$- 8$	$26$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(26)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(52)$ под следующим членом делимого $(- 124)$ .

$2$	$1$	$- 10$	$42$	$- 124$	$297$	$- 306$
		$2$	$- 16$	$52$
	$1$	$- 8$	$26$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$- 10$	$42$	$- 124$	$297$	$- 306$
		$2$	$- 16$	$52$
	$1$	$- 8$	$26$	$- 72$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 72)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(- 144)$ под следующим членом делимого $(297)$ .

$2$	$1$	$- 10$	$42$	$- 124$	$297$	$- 306$
		$2$	$- 16$	$52$	$- 144$
	$1$	$- 8$	$26$	$- 72$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$- 10$	$42$	$- 124$	$297$	$- 306$
		$2$	$- 16$	$52$	$- 144$
	$1$	$- 8$	$26$	$- 72$	$153$

Этап 6.11

Умножим последний элемент в области результата $(153)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(306)$ под следующим членом делимого $(- 306)$ .

$2$	$1$	$- 10$	$42$	$- 124$	$297$	$- 306$
		$2$	$- 16$	$52$	$- 144$	$306$
	$1$	$- 8$	$26$	$- 72$	$153$

Этап 6.12

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$- 10$	$42$	$- 124$	$297$	$- 306$
		$2$	$- 16$	$52$	$- 144$	$306$
	$1$	$- 8$	$26$	$- 72$	$153$	$0$

Этап 6.13

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{4} + - 8 x^{3} + 26 x^{2} + - 72 x + 153$

Этап 6.14

Упростим частное многочленов.

$x^{4} - 8 x^{3} + 26 x^{2} - 72 x + 153$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перегруппируем члены.

$- 8 x^{3} - 72 x + x^{4} + 26 x^{2} + 153 = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x^{3} - 72 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 72 x + x^{4} + 26 x^{2} + 153 = 0$

Этап 7.1.2.2

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 72 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot 9 + x^{4} + 26 x^{2} + 153 = 0$

Этап 7.1.2.3

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x (x^{2}) - 8 x (9)$ .

$- 8 x (x^{2} + 9) + x^{4} + 26 x^{2} + 153 = 0$

Этап 7.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 9) + {(x^{2})}^{2} + 26 x^{2} + 153 = 0$

Этап 7.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 8 x (x^{2} + 9) + u^{2} + 26 u + 153 = 0$

Этап 7.1.5

Разложим $u^{2} + 26 u + 153$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $153$ , а сумма — $26$ .

$9, 17$

Этап 7.1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 8 x (x^{2} + 9) + (u + 9) (u + 17) = 0$

Этап 7.1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 9) + (x^{2} + 9) (x^{2} + 17) = 0$

Этап 7.1.7

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $- 8 x (x^{2} + 9) + (x^{2} + 9) (x^{2} + 17)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $- 8 x (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (- 8 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} + 17) = 0$

Этап 7.1.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $(x^{2} + 9) (- 8 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} + 17)$ .

$(x^{2} + 9) (- 8 x + x^{2} + 17) = 0$

Этап 7.1.8

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 8 x + 17) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

$x^{2} - 8 x + 17 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Этап 7.3.2

Решим $x^{2} + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 9$

Этап 7.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Этап 7.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.3.1

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Этап 7.3.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (9)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Этап 7.3.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Этап 7.3.2.3.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Этап 7.3.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 3$

Этап 7.3.2.3.6

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \pm 3 i$

Этап 7.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 i$

Этап 7.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 i$

Этап 7.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 i, - 3 i$

Этап 7.4

Приравняем $x^{2} - 8 x + 17$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $x^{2} - 8 x + 17$ к $0$ .

$x^{2} - 8 x + 17 = 0$

Этап 7.4.2

Решим $x^{2} - 8 x + 17 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 8$ и $c = 17$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 17)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $17$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.3

Вычтем $68$ из $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i}{2}$

Этап 7.4.2.3.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 4 \pm i$

Этап 7.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 4 + i, 4 - i$

Этап 7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 9) (x^{2} - 8 x + 17) = 0$ верно.

$x = 3 i, - 3 i, 4 + i, 4 - i$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x - 2) (x - 3 i) (x + 3 i) (x - 4 - i) (x - 4 + i)$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $x^{5} - 10 x^{4} + 42 x^{3} - 124 x^{2} + 297 x - 306$ .

$x = 2, 3 i, - 3 i, 4 + i, 4 - i$

Этап 10