Алгебра Примеры

$3 x^{3} + 9 x^{2} + 4 x + 12$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 6, \pm 12$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$3 {(- 3)}^{3} + 9 {(- 3)}^{2} + 4 (- 3) + 12$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$3 \cdot - 27 + 9 {(- 3)}^{2} + 4 (- 3) + 12$

Этап 4.1.2

Умножим $3$ на $- 27$ .

$- 81 + 9 {(- 3)}^{2} + 4 (- 3) + 12$

Этап 4.1.3

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- 81 + 9 \cdot 9 + 4 (- 3) + 12$

Этап 4.1.4

Умножим $9$ на $9$ .

$- 81 + 81 + 4 (- 3) + 12$

Этап 4.1.5

Умножим $4$ на $- 3$ .

$- 81 + 81 - 12 + 12$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $- 81$ и $81$ .

$0 - 12 + 12$

Этап 4.2.2

Вычтем $12$ из $0$ .

$- 12 + 12$

Этап 4.2.3

Добавим $- 12$ и $12$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 3$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} + 4 x + 12}{x + 3}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 3$	$3$	$9$	$4$	$12$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 3$	$3$	$9$	$4$	$12$

	$3$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(- 9)$ под следующим членом делимого $(9)$ .

$- 3$	$3$	$9$	$4$	$12$
		$- 9$
	$3$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$3$	$9$	$4$	$12$
		$- 9$
	$3$	$0$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(4)$ .

$- 3$	$3$	$9$	$4$	$12$
		$- 9$	$0$
	$3$	$0$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$3$	$9$	$4$	$12$
		$- 9$	$0$
	$3$	$0$	$4$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(- 12)$ под следующим членом делимого $(12)$ .

$- 3$	$3$	$9$	$4$	$12$
		$- 9$	$0$	$- 12$
	$3$	$0$	$4$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$3$	$9$	$4$	$12$
		$- 9$	$0$	$- 12$
	$3$	$0$	$4$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$3 x^{2} + 0 x + 4$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$3 x^{2} + 4$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} = - 4$

Этап 7.2

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 4$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{3}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

Этап 7.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

Этап 7.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перепишем $- \frac{4}{3}$ в виде $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

Этап 7.4.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

Этап 7.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

Этап 7.4.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

Этап 7.4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{4}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Этап 7.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 7.4.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 7.4.6

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 7.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.7.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 7.4.7.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 7.4.7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 7.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 7.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 7.4.7.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 7.4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 7.4.8

Объединим $i$ и $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

Этап 7.4.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 7.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 7.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 7.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x + 3) (x - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}) (x + \frac{2 i \sqrt{3}}{3})$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $3 x^{3} + 9 x^{2} + 4 x + 12$ .

$x = - 3, \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 10