Алгебра Примеры

$\frac{5 x - 2}{2} - \frac{19 x + 6}{2 x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Этап 1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим $\frac{5 x - 2}{2} - \frac{19 x + 6}{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Разобьем дробь $\frac{5 x - 2}{2}$ на две дроби.

$\frac{5 x}{2} + \frac{- 2}{2} - \frac{19 x + 6}{2 x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Этап 1.1.1.1.2

Разделим $- 2$ на $2$ .

$\frac{5 x}{2} - 1 - \frac{19 x + 6}{2 x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Этап 1.1.1.1.3

Разобьем дробь $\frac{19 x + 6}{2 x}$ на две дроби.

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19 x}{2 x} + \frac{6}{2 x}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Этап 1.1.1.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.4.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19 x}{2 x} + \frac{6}{2 x}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Этап 1.1.1.1.4.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19}{2} + \frac{6}{2 x}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Этап 1.1.1.1.4.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2 x}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Этап 1.1.1.1.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2 (x)}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Этап 1.1.1.1.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2 x}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Этап 1.1.1.1.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19}{2} + \frac{3}{x}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Этап 1.1.1.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x}{2} - 1 - \frac{19}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Этап 1.1.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{19}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Этап 1.1.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{19}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Этап 1.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2 - 19}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Этап 1.1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{5 x}{2} + \frac{- 2 - 19}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Этап 1.1.1.5.2

Вычтем $19$ из $- 2$ .

$\frac{5 x}{2} + \frac{- 21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Этап 1.1.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Этап 1.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим $\frac{3 x - 2}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем дробь $\frac{3 x - 2}{4}$ на две дроби.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x}{4} + \frac{- 2}{4}$

Этап 1.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x}{4} + \frac{2 (- 1)}{4}$

Этап 1.2.1.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x}{4} + \frac{- 1}{2}$

Этап 1.2.1.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2}$

Этап 1.3

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычтем $\frac{3 x}{4}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} - \frac{3 x}{4} = - \frac{1}{2}$

Этап 1.3.2

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} - \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2} = 0$

Этап 1.4

Упростим $\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} - \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 x - 21 + 1}{2} + \frac{- 3}{x} + \frac{- 3 x}{4} = 0$

Этап 1.4.2

Добавим $- 21$ и $1$ .

$\frac{5 x - 20}{2} + \frac{- 3}{x} + \frac{- 3 x}{4} = 0$

Этап 1.4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{5 (x) - 20}{2} + \frac{- 3}{x} + \frac{- 3 x}{4} = 0$

Этап 1.4.3.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 20$ .

$\frac{5 x + 5 \cdot - 4}{2} + \frac{- 3}{x} + \frac{- 3 x}{4} = 0$

Этап 1.4.3.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 x + 5 \cdot - 4$ .

$\frac{5 (x - 4)}{2} + \frac{- 3}{x} + \frac{- 3 x}{4} = 0$

Этап 1.4.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5 (x - 4)}{2} - \frac{3}{x} + \frac{- 3 x}{4} = 0$

Этап 1.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5 (x - 4)}{2} - \frac{3}{x} - \frac{3 x}{4} = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2, x, 4, 1$

Этап 2.2

Так как $2, x, 4, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $2, 1, 4, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{1}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.6

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 2.7

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.8

НОК $2, 1, 4, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 2$

Этап 2.9

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 2.10

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.11

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 2.12

НОК $2, x, 4, 1$ представляет собой произведение числовой части $4$ и переменной части.

$4 x$

Этап 3

Каждый член в $\frac{5 (x - 4)}{2} - \frac{3}{x} - \frac{3 x}{4} = 0$ умножим на $4 x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{5 (x - 4)}{2} - \frac{3}{x} - \frac{3 x}{4} = 0$ на $4 x$ .

$\frac{5 (x - 4)}{2} (4 x) - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{5 (x - 4)}{2} x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{5 (x - 4)}{2} x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{5 (x - 4)}{2} x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (5 (x - 4)) x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.3

Умножим $5$ на $2$ .

$10 (x - 4) x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(10 x + 10 \cdot - 4) x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.5

Умножим $10$ на $- 4$ .

$(10 x - 40) x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x \cdot x - 40 x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Перенесем $x$ .

$10 (x \cdot x) - 40 x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$10 x^{2} - 40 x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.8

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{x}$ в числитель.

$10 x^{2} - 40 x + \frac{- 3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.8.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$10 x^{2} - 40 x + \frac{- 3}{x} (x \cdot 4) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.8.3

Сократим общий множитель.

$10 x^{2} - 40 x + \frac{- 3}{x} (x \cdot 4) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.8.4

Перепишем это выражение.

$10 x^{2} - 40 x - 3 \cdot 4 - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.9

Умножим $- 3$ на $4$ .

$10 x^{2} - 40 x - 12 - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.10

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.10.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 x}{4}$ в числитель.

$10 x^{2} - 40 x - 12 + \frac{- 3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.10.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$10 x^{2} - 40 x - 12 + \frac{- 3 x}{4} (4 (x)) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.10.3

Сократим общий множитель.

$10 x^{2} - 40 x - 12 + \frac{- 3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.10.4

Перепишем это выражение.

$10 x^{2} - 40 x - 12 - 3 x \cdot x = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$10 x^{2} - 40 x - 12 - 3 (x^{1} x) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$10 x^{2} - 40 x - 12 - 3 (x^{1} x^{1}) = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 x^{2} - 40 x - 12 - 3 x^{1 + 1} = 0 (4 x)$

Этап 3.2.1.14

Добавим $1$ и $1$ .

$10 x^{2} - 40 x - 12 - 3 x^{2} = 0 (4 x)$

Этап 3.2.2

Вычтем $3 x^{2}$ из $10 x^{2}$ .

$7 x^{2} - 40 x - 12 = 0 (4 x)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $0 (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$7 x^{2} - 40 x - 12 = 0 x$

Этап 3.3.1.2

Умножим $0$ на $x$ .

$7 x^{2} - 40 x - 12 = 0$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 7 \cdot - 12 = - 84$ , а сумма — $b = - 40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $- 40$ из $- 40 x$ .

$7 x^{2} - 40 x - 12 = 0$

Этап 4.1.1.2

Запишем $- 40$ как $2$ плюс $- 42$

$7 x^{2} + (2 - 42) x - 12 = 0$

Этап 4.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} + 2 x - 42 x - 12 = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(7 x^{2} + 2 x) - 42 x - 12 = 0$

Этап 4.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (7 x + 2) - 6 (7 x + 2) = 0$

Этап 4.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $7 x + 2$ .

$(7 x + 2) (x - 6) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$7 x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 4.3

Приравняем $7 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $7 x + 2$ к $0$ .

$7 x + 2 = 0$

Этап 4.3.2

Решим $7 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$7 x = - 2$

Этап 4.3.2.2

Разделим каждый член $7 x = - 2$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Разделим каждый член $7 x = - 2$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Этап 4.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{7}$

Этап 4.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{7}$

Этап 4.4

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(7 x + 2) (x - 6) = 0$ верно.

$x = - \frac{2}{7}, 6$