Алгебра Примеры

$h (x) = \frac{1}{8} x^{3} - x^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{8} x^{3} - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{8} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{8} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{3}{8} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.4

Объединим $\frac{3}{8}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{8} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{2}}{8} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{3 x^{2}}{8} - (2 x)$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{8} - 2 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{3 x^{2}}{8} - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{8}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{2}}{8}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{8}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{3}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x^{2}}{8}$ по $x$ равна $\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$h'' (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{8} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 2.2.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{8}$ .

$h'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{8} x + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$h'' (x) = \frac{6}{8} x + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 2.2.5

Объединим $\frac{6}{8}$ и $x$ .

$h'' (x) = \frac{6 x}{8} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 2.2.6

Сократим общий множитель $6$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$h'' (x) = \frac{2 (3 x)}{8} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$h'' (x) = \frac{2 (3 x)}{2 (4)} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$h'' (x) = \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 4} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$h'' (x) = \frac{3 x}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$h'' (x) = \frac{3 x}{4} - 2 \frac{d}{d x} x$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$h'' (x) = \frac{3 x}{4} - 2 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$h'' (x) = \frac{3 x}{4} - 2$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{3 x^{2}}{8} - 2 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{8} x^{3} - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{8} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$f' (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{8} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Этап 4.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{8}$ .

$f' (x) = \frac{3}{8} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Этап 4.1.2.4

Объединим $\frac{3}{8}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{8} - \frac{d}{d x} x^{2}$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{8} - (2 x)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{8} - 2 x$

Этап 4.2

Первая производная $h (x)$ по $x$ равна $\frac{3 x^{2}}{8} - 2 x$ .

$\frac{3 x^{2}}{8} - 2 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 x^{2}}{8} - 2 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{8} - 2 x = 0$

Этап 5.2

Каждый член в $\frac{3 x^{2}}{8} - 2 x = 0$ умножим на $8$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $\frac{3 x^{2}}{8} - 2 x = 0$ на $8$ .

$\frac{3 x^{2}}{8} \cdot 8 - 2 x \cdot 8 = 0 \cdot 8$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{8} \cdot 8 - 2 x \cdot 8 = 0 \cdot 8$

Этап 5.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} - 2 x \cdot 8 = 0 \cdot 8$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $8$ на $- 2$ .

$3 x^{2} - 16 x = 0 \cdot 8$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $0$ на $8$ .

$3 x^{2} - 16 x = 0$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$x (3 x) - 16 x = 0$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 16 x$ .

$x (3 x) + x \cdot - 16 = 0$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x) + x \cdot - 16$ .

$x (3 x - 16) = 0$

Этап 5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$3 x - 16 = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.6

Приравняем $3 x - 16$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $3 x - 16$ к $0$ .

$3 x - 16 = 0$

Этап 5.6.2

Решим $3 x - 16 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 16$

Этап 5.6.2.2

Разделим каждый член $3 x = 16$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 16$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Этап 5.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Этап 5.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{16}{3}$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (3 x - 16) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{16}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, \frac{16}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{3 (0)}{4} - 2$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{4} - 2$

Этап 9.2

Разделим $0$ на $4$ .

$0 - 2$

Этап 9.3

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$h (0) = \frac{1}{8} \cdot {(0)}^{3} - {(0)}^{2}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$h (0) = \frac{1}{8} \cdot 0 - {(0)}^{2}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $\frac{1}{8}$ на $0$ .

$h (0) = 0 - {(0)}^{2}$

Этап 11.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$h (0) = 0 - 0$

Этап 11.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$h (0) = 0 + 0$

Этап 11.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$h (0) = 0$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{16}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{3 (\frac{16}{3})}{4} - 2$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Объединим $3$ и $\frac{16}{3}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 16}{3}}{4} - 2$

Этап 13.1.2

Умножим $3$ на $16$ .

$\frac{\frac{48}{3}}{4} - 2$

Этап 13.1.3

Разделим $48$ на $3$ .

$\frac{16}{4} - 2$

Этап 13.1.4

Разделим $16$ на $4$ .

$4 - 2$

Этап 13.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$2$

Этап 14

$x = \frac{16}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{16}{3}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{16}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{16}{3}$ .

$h (\frac{16}{3}) = \frac{1}{8} \cdot {(\frac{16}{3})}^{3} - {(\frac{16}{3})}^{2}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{16}{3}$ .

$h (\frac{16}{3}) = \frac{1}{8} \cdot \frac{16^{3}}{3^{3}} - {(\frac{16}{3})}^{2}$

Этап 15.2.1.2

Объединим.

$h (\frac{16}{3}) = \frac{1 \cdot 16^{3}}{8 \cdot 3^{3}} - {(\frac{16}{3})}^{2}$

Этап 15.2.1.3

Умножим $16^{3}$ на $1$ .

$h (\frac{16}{3}) = \frac{16^{3}}{8 \cdot 3^{3}} - {(\frac{16}{3})}^{2}$

Этап 15.2.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$h (\frac{16}{3}) = \frac{16^{3}}{8 \cdot 27} - {(\frac{16}{3})}^{2}$

Этап 15.2.1.5

Возведем $16$ в степень $3$ .

$h (\frac{16}{3}) = \frac{4096}{8 \cdot 27} - {(\frac{16}{3})}^{2}$

Этап 15.2.1.6

Умножим $8$ на $27$ .

$h (\frac{16}{3}) = \frac{4096}{216} - {(\frac{16}{3})}^{2}$

Этап 15.2.1.7

Сократим общий множитель $4096$ и $216$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.1

Вынесем множитель $8$ из $4096$ .

$h (\frac{16}{3}) = \frac{8 (512)}{216} - {(\frac{16}{3})}^{2}$

Этап 15.2.1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.2.1

Вынесем множитель $8$ из $216$ .

$h (\frac{16}{3}) = \frac{8 \cdot 512}{8 \cdot 27} - {(\frac{16}{3})}^{2}$

Этап 15.2.1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$h (\frac{16}{3}) = \frac{8 \cdot 512}{8 \cdot 27} - {(\frac{16}{3})}^{2}$

Этап 15.2.1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$h (\frac{16}{3}) = \frac{512}{27} - {(\frac{16}{3})}^{2}$

Этап 15.2.1.8

Применим правило умножения к $\frac{16}{3}$ .

$h (\frac{16}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{16^{2}}{3^{2}}$

Этап 15.2.1.9

Возведем $16$ в степень $2$ .

$h (\frac{16}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{3^{2}}$

Этап 15.2.1.10

Возведем $3$ в степень $2$ .

$h (\frac{16}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9}$

Этап 15.2.2

Чтобы записать $- \frac{256}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$h (\frac{16}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 15.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Умножим $\frac{256}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$h (\frac{16}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

Этап 15.2.3.2

Умножим $9$ на $3$ .

$h (\frac{16}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{27}$

Этап 15.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$h (\frac{16}{3}) = \frac{512 - 256 \cdot 3}{27}$

Этап 15.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Умножим $- 256$ на $3$ .

$h (\frac{16}{3}) = \frac{512 - 768}{27}$

Этап 15.2.5.2

Вычтем $768$ из $512$ .

$h (\frac{16}{3}) = \frac{- 256}{27}$

Этап 15.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$h (\frac{16}{3}) = - \frac{256}{27}$

Этап 15.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{256}{27}$ .

$y = - \frac{256}{27}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $h (x) = \frac{1}{8} x^{3} - x^{2}$ .

$(0, 0)$ — локальный максимум

$(\frac{16}{3}, - \frac{256}{27})$ — локальный минимум

Этап 17