Алгебра Примеры

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.5

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.6.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.6.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.6.3.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.6.3.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.6.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} + 2 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.6.3.2.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Этап 2.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}})$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Этап 2.3.3

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Этап 2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Этап 2.5.2.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Этап 2.5.2.3

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Этап 2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}})$

Этап 2.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}})$

Этап 2.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Этап 2.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Этап 2.10.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Этап 2.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Этап 2.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Этап 2.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Этап 2.14

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Этап 2.15

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Этап 2.16

Объединим $2$ и $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.2.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.5

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.7

Перепишем $- (3 x^{2} - 1)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$