Алгебра Примеры

$\frac{x^{2}}{15} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{15} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

Этап 2

Это общее уравнение гиперболы. Используем его для определения эксцентриситета.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = \sqrt{15}$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 5

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Этап 6.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Этап 6.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Этап 6.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Этап 6.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{15^{1} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Этап 6.1.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{15 + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Этап 6.1.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{15 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Этап 6.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{15}}$

Этап 6.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{15}}$

Этап 6.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{15}}$

Этап 6.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{15 + 5^{1}}}{\sqrt{15}}$

Этап 6.1.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{15 + 5}}{\sqrt{15}}$

Этап 6.1.3

Добавим $15$ и $5$ .

$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{15}}$

Этап 6.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{\sqrt{15}}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{\sqrt{15}}$

Этап 6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{15}}$

Этап 6.2

Объединим $\sqrt{5}$ и $\sqrt{15}$ под одним знаком корня.

$2 \sqrt{\frac{5}{15}}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $5$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$2 \sqrt{\frac{5 (1)}{15}}$

Этап 6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$2 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3}}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3}}$

Этап 6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 6.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$2 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 6.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 6.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 6.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.7.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 6.7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 6.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 6.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 6.7.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 6.7.6.5

Найдем экспоненту.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 6.8

Объединим $2$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$1.15470053 \dots$

Этап 8