Алгебра Примеры

$\frac{10 x^{3} - 25 x}{5 x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 10 x^{3} - 25 x$ и $g (x) = 5 x$ .

$\frac{5 x \frac{d}{d x} [10 x^{3} - 25 x] - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Этап 2

По правилу суммы производная $10 x^{3} - 25 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x]$ .

$\frac{5 x (\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x^{3}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{5 x (10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{5 x (10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 25 x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $10$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 25 x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 25 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25 x$ по $x$ равна $- 25 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25 \frac{d}{d x} [x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25 \cdot 1) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Этап 4.3

Умножим $- 25$ на $1$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{{(5 x)}^{2}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) (5 \cdot 1)}{{(5 x)}^{2}}$

Этап 5.3

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) \cdot 5}{{(5 x)}^{2}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило умножения к $5 x$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x (30 x^{2}) + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3} - 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x (30 x^{2}) + 5 x \cdot - 25 + (- (10 x^{3}) - (- 25 x)) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x (30 x^{2}) + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Этап 6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{5 \cdot 30 x \cdot x^{2} + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Этап 6.5.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{5 \cdot 30 (x^{2} x) + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Этап 6.5.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{5 \cdot 30 (x^{2} x^{1}) + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Этап 6.5.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 \cdot 30 x^{2 + 1} + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Этап 6.5.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{5 \cdot 30 x^{3} + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Этап 6.5.1.3

Умножим $5$ на $30$ .

$\frac{150 x^{3} + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Этап 6.5.1.4

Умножим $- 25$ на $5$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Этап 6.5.1.5

Умножим $10$ на $- 1$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - 10 x^{3} \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Этап 6.5.1.6

Умножим $5$ на $- 10$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - 50 x^{3} - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Этап 6.5.1.7

Умножим $- 25$ на $- 1$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - 50 x^{3} + 25 x \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Этап 6.5.1.8

Умножим $5$ на $25$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - 50 x^{3} + 125 x}{5^{2} x^{2}}$

Этап 6.5.2

Объединим противоположные члены в $150 x^{3} - 125 x - 50 x^{3} + 125 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Добавим $- 125 x$ и $125 x$ .

$\frac{150 x^{3} - 50 x^{3} + 0}{5^{2} x^{2}}$

Этап 6.5.2.2

Добавим $150 x^{3} - 50 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{150 x^{3} - 50 x^{3}}{5^{2} x^{2}}$

Этап 6.5.3

Вычтем $50 x^{3}$ из $150 x^{3}$ .

$\frac{100 x^{3}}{5^{2} x^{2}}$

Этап 6.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{100 x^{3}}{25 x^{2}}$

Этап 6.6.2

Сократим общий множитель $100$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Вынесем множитель $25$ из $100 x^{3}$ .

$\frac{25 (4 x^{3})}{25 x^{2}}$

Этап 6.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $25 x^{2}$ .

$\frac{25 (4 x^{3})}{25 (x^{2})}$

Этап 6.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{25 (4 x^{3})}{25 x^{2}}$

Этап 6.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x^{3}}{x^{2}}$

Этап 6.6.3

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (4 x)}{x^{2}}$

Этап 6.6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} \cdot 1}$

Этап 6.6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} \cdot 1}$

Этап 6.6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x}{1}$

Этап 6.6.3.2.4

Разделим $4 x$ на $1$ .

$4 x$