Алгебра Примеры

$x = h + r \cos (t)$ , $y = k + r \sin (t)$

Этап 1

Составим параметрическое уравнение для $x (t)$ , чтобы решить это уравнение в отношении $t$ .

$x = h + r \cos (t)$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $h + r \cos (t) = x$ .

$h + r \cos (t) = x$

Этап 3

Вычтем $h$ из обеих частей уравнения.

$r \cos (t) = x - h$

Этап 4

Разделим каждый член $r \cos (t) = x - h$ на $r$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $r \cos (t) = x - h$ на $r$ .

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $\cos (t)$ на $1$ .

$\cos (t) = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (t) = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$

Этап 5

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из косинуса.

$t = \arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$

Этап 6

Заменим $t$ в уравнении на $y$ , чтобы получить уравнение, выраженное через $x$ .

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

Этап 7

Избавимся от скобок.

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

Этап 8

Упростим $k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ , $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ . Следовательно, $\sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ равно $\sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$ .

$y = k + r \sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

Этап 8.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = k + r \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

Этап 8.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))}$

Этап 8.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} - - \frac{h}{r})}$

Этап 8.1.4.2

Умножим $- - \frac{h}{r}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + 1 \frac{h}{r})}$

Этап 8.1.4.2.2

Умножим $\frac{h}{r}$ на $1$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Этап 8.1.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = k + r \sqrt{(\frac{r}{r} + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Этап 8.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = k + r \sqrt{(\frac{r + x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Этап 8.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = k + r \sqrt{\frac{r + x - h}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Этап 8.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.8.1

Перенесем $x$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{r - h + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Этап 8.1.8.2

Изменим порядок $r$ и $- h$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Этап 8.1.9

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r}{r} - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Этап 8.1.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r - x}{r} + \frac{h}{r})}$

Этап 8.1.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r - x + h}{r}}$

Этап 8.1.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.12.1

Перенесем $- x$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r + h - x}{r}}$

Этап 8.1.12.2

Изменим порядок $r$ и $h$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{h + r - x}{r}}$

Этап 8.1.13

Умножим $\frac{- h + r + x}{r}$ на $\frac{h + r - x}{r}$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r \cdot r}}$

Этап 8.1.14

Умножим $r$ на $r$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}}$

Этап 8.1.15

Перепишем $\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.15.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(- h + r + x) (h + r - x)$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2}}}$

Этап 8.1.15.2

Вынесем полную степень $r^{2}$ из $r^{2}$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}}$

Этап 8.1.15.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}$ .

$y = k + r \sqrt{{(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}$

Этап 8.1.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = k + r (\frac{1}{r} \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)})$

Этап 8.1.17

Объединим $\frac{1}{r}$ и $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ .

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

Этап 8.1.18

Сократим общий множитель $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.18.1

Сократим общий множитель.

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

Этап 8.1.18.2

Перепишем это выражение.

$y = k + \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$

Этап 8.2

Изменим порядок $k$ и $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ .

$y = \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)} + k$