Алгебра Примеры

${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ в виде $e^{\ln ({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}$ .

$\frac{d}{d n} [e^{\ln ({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}]$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(1 + \frac{1}{n})}^{n})$ , вынося $n$ из логарифма.

$\frac{d}{d n} [e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ имеет вид $f' (g (n)) g' (n)$ , где $f (n) = e^{n}$ и $g (n) = n \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $n \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d n} [n \ln (1 + \frac{1}{n})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d n} [n \ln (1 + \frac{1}{n})]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $n \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \frac{d}{d n} [n \ln (1 + \frac{1}{n})]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ имеет вид $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ , где $f (n) = n$ и $g (n) = \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (n \frac{d}{d n} [\ln (1 + \frac{1}{n})] + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 + \frac{1}{n}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (n (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d n} [1 + \frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Этап 4.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (n (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + \frac{1}{n}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (n (\frac{1}{1 + \frac{1}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{1 + \frac{1}{n}}$ и $n$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{1}{n}] + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Этап 5.2

По правилу суммы производная $1 + \frac{1}{n}$ по $n$ имеет вид $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Этап 5.3

Поскольку $1$ является константой относительно $n$ , производная $1$ относительно $n$ равна $0$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} (0 + \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Этап 5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Добавим $0$ и $\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}] + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Этап 5.4.2

Перепишем $\frac{1}{n}$ в виде $n^{- 1}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} \frac{d}{d n} [n^{- 1}] + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Этап 5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ имеет вид $n \cdot n^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} (- n^{- 2}) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Этап 5.6

Объединим $\frac{n}{1 + \frac{1}{n}}$ и $n^{- 2}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{n \cdot n^{- 2}}{1 + \frac{1}{n}} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Этап 6

Умножим $n$ на $n^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $n$ на $n^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $n$ в степень $1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{n^{1} n^{- 2}}{1 + \frac{1}{n}} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Этап 6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{n^{1 - 2}}{1 + \frac{1}{n}} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{n^{- 1}}{1 + \frac{1}{n}} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Этап 7

Перенесем $n^{- 1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ имеет вид $n \cdot n^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \cdot 1)$

Этап 9

Умножим $\ln (1 + \frac{1}{n})$ на $1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \ln (1 + \frac{1}{n}))$

Этап 10

Чтобы записать $\ln (1 + \frac{1}{n})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(1 + \frac{1}{n}) n}{(1 + \frac{1}{n}) n}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \cdot \frac{(1 + \frac{1}{n}) n}{(1 + \frac{1}{n}) n})$

Этап 11

Объединим $\ln (1 + \frac{1}{n})$ и $\frac{(1 + \frac{1}{n}) n}{(1 + \frac{1}{n}) n}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \frac{\ln (1 + \frac{1}{n}) ((1 + \frac{1}{n}) n)}{(1 + \frac{1}{n}) n})$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \frac{- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) ((1 + \frac{1}{n}) n)}{(1 + \frac{1}{n}) n}$

Этап 13

Объединим $e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}$ и $\frac{- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) ((1 + \frac{1}{n}) n)}{(1 + \frac{1}{n}) n}$ .

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) ((1 + \frac{1}{n}) n))}{(1 + \frac{1}{n}) n}$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (1 n + \frac{1}{n} n))}{(1 + \frac{1}{n}) n}$

Этап 14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (1 n + \frac{1}{n} n))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Этап 14.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.1.1

Умножим $n$ на $1$ .

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (n + \frac{1}{n} n))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Этап 14.3.1.1.2

Сократим общий множитель $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (n + \frac{1}{n} n))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Этап 14.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (n + 1))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Этап 14.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) n + \ln (1 + \frac{1}{n}) \cdot 1)}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Этап 14.3.1.3

Умножим $\ln (1 + \frac{1}{n})$ на $1$ .

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) n + \ln (1 + \frac{1}{n}))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Этап 14.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \cdot - 1 + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\ln (1 + \frac{1}{n}) n) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Этап 14.3.3

Перенесем $- 1$ влево от $e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}$ .

$\frac{- 1 \cdot e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\ln (1 + \frac{1}{n}) n) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Этап 14.3.4

Перепишем $- 1 e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}$ в виде $- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}$ .

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\ln (1 + \frac{1}{n}) n) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Этап 14.3.5

Изменим порядок множителей в $- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\ln (1 + \frac{1}{n}) n) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Этап 14.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Умножим $n$ на $1$ .

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{n + \frac{1}{n} n}$

Этап 14.4.2

Объединим $\frac{1}{n}$ и $n$ .

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{n + \frac{n}{n}}$

Этап 14.4.3

Сократим общий множитель $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{n + \frac{n}{n}}$

Этап 14.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{n + 1}$

Этап 14.5

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} n \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) - e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}}{n + 1}$