Алгебра Примеры

$3 e^{- x^{4}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{- x^{4}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{- x^{4}})$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x^{4}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{4}))$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{4}))$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x^{4}$ .

$f' (x) = 3 (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (- x^{4}))$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} x^{4})$

Этап 1.3.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = - 3 e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} x^{4}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = - 3 e^{- x^{4}} (4 x^{3})$

Этап 1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Умножим $4$ на $- 3$ .

$f' (x) = - 12 e^{- x^{4}} x^{3}$

Этап 1.3.4.2

Изменим порядок множителей в $- 12 e^{- x^{4}} x^{3}$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} e^{- x^{4}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{3} e^{- x^{4}}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x^{4}})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = e^{- x^{4}}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x^{4}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 2.3.2

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x^{4}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (- x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- (4 x^{3}))) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 2.4.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 2.5

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} x^{3} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 2.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 12 (x^{3 + 3} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 2.5.3

Добавим $3$ и $3$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 2.6

Перенесем $- 4$ влево от $e^{- x^{4}}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (- 4 \cdot e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (- 4 e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (- 4 e^{- x^{4}})) - 12 (e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Этап 2.8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Умножим $- 4$ на $- 12$ .

$f'' (x) = 48 (x^{6} (e^{- x^{4}})) - 12 (e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Этап 2.8.2.2

Умножим $3$ на $- 12$ .

$f'' (x) = 48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$

Этап 2.8.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 48 e^{- x^{4}} x^{6} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$

Этап 2.8.4

Изменим порядок множителей в $48 e^{- x^{4}} x^{6} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$ .

$f'' (x) = 48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 x^{2} e^{- x^{4}}$