Алгебра Примеры

$(12 x^{2} - 10 x - 12) \div (3 x + 2)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 12 x^{2} - 10 x - 12$ и $g (x) = 3 x + 2$ .

$\frac{(3 x + 2) \frac{d}{d x} [12 x^{2} - 10 x - 12] - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 2

По правилу суммы производная $12 x^{2} - 10 x - 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{(3 x + 2) (\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 x + 2) (12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(3 x + 2) (12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $12$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.3

Умножим $- 10$ на $1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10 + \frac{d}{d x} [- 12]) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10 + 0) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 5.2

Добавим $24 x - 10$ и $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 5.3

По правилу суммы производная $3 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 6.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) (3 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) (3 + 0)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 7.2

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2} - 10 x - 12) \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) + (- (12 x^{2}) - (- 10 x) - - 12) \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 10) - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Развернем $(3 x + 2) (24 x - 10)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x (24 x - 10) + 2 (24 x - 10) - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x (24 x) + 3 x \cdot - 10 + 2 (24 x - 10) - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x (24 x) + 3 x \cdot - 10 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 \cdot 24 x \cdot x + 3 x \cdot - 10 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 \cdot 24 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 10 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 \cdot 24 x^{2} + 3 x \cdot - 10 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.1.3

Умножим $3$ на $24$ .

$\frac{72 x^{2} + 3 x \cdot - 10 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.1.4

Умножим $- 10$ на $3$ .

$\frac{72 x^{2} - 30 x + 2 (24 x) + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.1.5

Умножим $24$ на $2$ .

$\frac{72 x^{2} - 30 x + 48 x + 2 \cdot - 10 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.1.6

Умножим $2$ на $- 10$ .

$\frac{72 x^{2} - 30 x + 48 x - 20 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.2

Добавим $- 30 x$ и $48 x$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - (12 x^{2}) \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.3

Умножим $12$ на $- 1$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - 12 x^{2} \cdot 3 - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.4

Умножим $3$ на $- 12$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - 36 x^{2} - (- 10 x) \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.5

Умножим $- 10$ на $- 1$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - 36 x^{2} + 10 x \cdot 3 - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.6

Умножим $3$ на $10$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - 36 x^{2} + 30 x - - 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.7

Умножим $- - 12 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.7.1

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - 36 x^{2} + 30 x + 12 \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.7.2

Умножим $12$ на $3$ .

$\frac{72 x^{2} + 18 x - 20 - 36 x^{2} + 30 x + 36}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.2

Вычтем $36 x^{2}$ из $72 x^{2}$ .

$\frac{36 x^{2} + 18 x - 20 + 30 x + 36}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.3

Добавим $18 x$ и $30 x$ .

$\frac{36 x^{2} + 48 x - 20 + 36}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.4

Добавим $- 20$ и $36$ .

$\frac{36 x^{2} + 48 x + 16}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вынесем множитель $4$ из $36 x^{2} + 48 x + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $36 x^{2}$ .

$\frac{4 (9 x^{2}) + 48 x + 16}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.4.1.2

Вынесем множитель $4$ из $48 x$ .

$\frac{4 (9 x^{2}) + 4 (12 x) + 16}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.4.1.3

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4 (9 x^{2}) + 4 (12 x) + 4 (4)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.4.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (9 x^{2}) + 4 (12 x)$ .

$\frac{4 (9 x^{2} + 12 x) + 4 (4)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.4.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (9 x^{2} + 12 x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (9 x^{2} + 12 x + 4)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.4.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{4 ({(3 x)}^{2} + 12 x + 4)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.4.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{4 ({(3 x)}^{2} + 12 x + 2^{2})}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.4.2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$12 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 2$

Этап 8.4.2.4

Перепишем многочлен.

$\frac{4 ({(3 x)}^{2} + 2 \cdot (3 x) \cdot 2 + 2^{2})}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.4.2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 3 x$ и $b = 2$ .

$\frac{4 {(3 x + 2)}^{2}}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.5

Сократим общий множитель ${(3 x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 {(3 x + 2)}^{2}}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.5.2

Разделим $4$ на $1$ .

$4$