Алгебра Примеры

$x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$

Этап 1

Запишем $x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$ в виде функции.

$f (x) = x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x^{3}$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 10$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $9$ на $1$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} + 9$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $5 x^{4} - 30 x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 3.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 30$ является константой относительно $x$ , производная $- 30 x^{2}$ по $x$ равна $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 30 (2 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $- 30$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $20 x^{3} - 60 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Этап 5.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x^{3}$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x)$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Этап 5.1.2.3

Умножим $3$ на $- 10$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x)$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 \cdot 1$

Этап 5.1.3.3

Умножим $9$ на $1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + 9$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $5 x^{4} - 30 x^{2} + 9$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} + 9$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 = 0$

Этап 6.2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$5 u^{2} - 30 u + 9 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 6.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.4

Подставим значения $a = 5$ , $b = - 30$ и $c = 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 9)}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Возведем $- 30$ в степень $2$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 5 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 5 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 20 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.1.2.2

Умножим $- 20$ на $9$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 180}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.1.3

Вычтем $180$ из $900$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{720}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.1.4

Перепишем $720$ в виде $12^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.4.1

Вынесем множитель $144$ из $720$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{144 (5)}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.1.4.2

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2

Умножим $2$ на $5$ .

$u = \frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{10}$

Этап 6.5.3

Упростим $\frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{10}$ .

$u = \frac{15 \pm 6 \sqrt{5}}{5}$

Этап 6.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Возведем $- 30$ в степень $2$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 5 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 5 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 20 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.6.1.2.2

Умножим $- 20$ на $9$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 180}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.6.1.3

Вычтем $180$ из $900$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{720}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.6.1.4

Перепишем $720$ в виде $12^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.4.1

Вынесем множитель $144$ из $720$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{144 (5)}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.6.1.4.2

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.6.2

Умножим $2$ на $5$ .

$u = \frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{10}$

Этап 6.6.3

Упростим $\frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{10}$ .

$u = \frac{15 \pm 6 \sqrt{5}}{5}$

Этап 6.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$u = \frac{15 + 6 \sqrt{5}}{5}$

Этап 6.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Возведем $- 30$ в степень $2$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 5 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 5 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 20 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.7.1.2.2

Умножим $- 20$ на $9$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 180}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.7.1.3

Вычтем $180$ из $900$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{720}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.7.1.4

Перепишем $720$ в виде $12^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.4.1

Вынесем множитель $144$ из $720$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{144 (5)}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.7.1.4.2

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.7.2

Умножим $2$ на $5$ .

$u = \frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{10}$

Этап 6.7.3

Упростим $\frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{10}$ .

$u = \frac{15 \pm 6 \sqrt{5}}{5}$

Этап 6.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$u = \frac{15 - 6 \sqrt{5}}{5}$

Этап 6.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{15 + 6 \sqrt{5}}{5}, \frac{15 - 6 \sqrt{5}}{5}$

Этап 6.9

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 5.68328157$

${(x^{2})}^{1} = 0.31671842$

Этап 6.10

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 5.68328157$

Этап 6.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5.68328157}$

Этап 6.11.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{5.68328157}$

Этап 6.11.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{5.68328157}$

Этап 6.11.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{5.68328157}, - \sqrt{5.68328157}$

Этап 6.12

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 0.31671842$

Этап 6.13

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 0.31671842$

Этап 6.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.31671842}$

Этап 6.13.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{0.31671842}$

Этап 6.13.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{0.31671842}$

Этап 6.13.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{0.31671842}, - \sqrt{0.31671842}$

Этап 6.14

Решением $5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 = 0$ является $x = \sqrt{5.68328157}, - \sqrt{5.68328157}, \sqrt{0.31671842}, - \sqrt{0.31671842}$ .

$x = \sqrt{5.68328157}, - \sqrt{5.68328157}, \sqrt{0.31671842}, - \sqrt{0.31671842}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \sqrt{5.68328157}, - \sqrt{5.68328157}, \sqrt{0.31671842}, - \sqrt{0.31671842}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \sqrt{5.68328157}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$20 {(\sqrt{5.68328157})}^{3} - 60 \sqrt{5.68328157}$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем ${\sqrt{5.68328157}}^{3}$ в виде $\sqrt{{5.68328157}^{3}}$ .

$20 \sqrt{{5.68328157}^{3}} - 60 \sqrt{5.68328157}$

Этап 10.2

Возведем $5.68328157$ в степень $3$ .

$20 \sqrt{183.56822979} - 60 \sqrt{5.68328157}$

Этап 11

$x = \sqrt{5.68328157}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \sqrt{5.68328157}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \sqrt{5.68328157}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{5.68328157}$ .

$f (\sqrt{5.68328157}) = {(\sqrt{5.68328157})}^{5} - 10 {(\sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (\sqrt{5.68328157})$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{5.68328157}}^{5}$ в виде $\sqrt{{5.68328157}^{5}}$ .

$f (\sqrt{5.68328157}) = \sqrt{{5.68328157}^{5}} - 10 {(\sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (\sqrt{5.68328157})$

Этап 12.2.1.2

Возведем $5.68328157$ в степень $5$ .

$f (\sqrt{5.68328157}) = \sqrt{5929.19681311} - 10 {(\sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (\sqrt{5.68328157})$

Этап 12.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{5.68328157}}^{3}$ в виде $\sqrt{{5.68328157}^{3}}$ .

$f (\sqrt{5.68328157}) = \sqrt{5929.19681311} - 10 \sqrt{{5.68328157}^{3}} + 9 (\sqrt{5.68328157})$

Этап 12.2.1.4

Возведем $5.68328157$ в степень $3$ .

$f (\sqrt{5.68328157}) = \sqrt{5929.19681311} - 10 \sqrt{183.56822979} + 9 \sqrt{5.68328157}$

Этап 12.2.2

Окончательный ответ: $\sqrt{5929.19681311} - 10 \sqrt{183.56822979} + 9 \sqrt{5.68328157}$ .

$y = \sqrt{5929.19681311} - 10 \sqrt{183.56822979} + 9 \sqrt{5.68328157}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = - \sqrt{5.68328157}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$20 {(- \sqrt{5.68328157})}^{3} - 60 (- \sqrt{5.68328157})$

Этап 14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{5.68328157}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{5.68328157}}^{3}) - 60 (- \sqrt{5.68328157})$

Этап 14.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$20 (- {\sqrt{5.68328157}}^{3}) - 60 (- \sqrt{5.68328157})$

Этап 14.3

Перепишем ${\sqrt{5.68328157}}^{3}$ в виде $\sqrt{{5.68328157}^{3}}$ .

$20 (- \sqrt{{5.68328157}^{3}}) - 60 (- \sqrt{5.68328157})$

Этап 14.4

Возведем $5.68328157$ в степень $3$ .

$20 (- \sqrt{183.56822979}) - 60 (- \sqrt{5.68328157})$

Этап 14.5

Умножим $- 1$ на $20$ .

$- 20 \sqrt{183.56822979} - 60 (- \sqrt{5.68328157})$

Этап 14.6

Умножим $- 1$ на $- 60$ .

$- 20 \sqrt{183.56822979} + 60 \sqrt{5.68328157}$

Этап 15

$x = - \sqrt{5.68328157}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \sqrt{5.68328157}$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = - \sqrt{5.68328157}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{5.68328157}$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = {(- \sqrt{5.68328157})}^{5} - 10 {(- \sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{5.68328157}$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = {(- 1)}^{5} {\sqrt{5.68328157}}^{5} - 10 {(- \sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Этап 16.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - {\sqrt{5.68328157}}^{5} - 10 {(- \sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Этап 16.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{5.68328157}}^{5}$ в виде $\sqrt{{5.68328157}^{5}}$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{{5.68328157}^{5}} - 10 {(- \sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Этап 16.2.1.4

Возведем $5.68328157$ в степень $5$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} - 10 {(- \sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Этап 16.2.1.5

Применим правило умножения к $- \sqrt{5.68328157}$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} - 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{5.68328157}}^{3}) + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Этап 16.2.1.6

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} - 10 (- {\sqrt{5.68328157}}^{3}) + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Этап 16.2.1.7

Перепишем ${\sqrt{5.68328157}}^{3}$ в виде $\sqrt{{5.68328157}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} - 10 (- \sqrt{{5.68328157}^{3}}) + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Этап 16.2.1.8

Возведем $5.68328157$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} - 10 (- \sqrt{183.56822979}) + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Этап 16.2.1.9

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} + 10 \sqrt{183.56822979} + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Этап 16.2.1.10

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} + 10 \sqrt{183.56822979} - 9 \sqrt{5.68328157}$

Этап 16.2.2

Окончательный ответ: $- \sqrt{5929.19681311} + 10 \sqrt{183.56822979} - 9 \sqrt{5.68328157}$ .

$y = - \sqrt{5929.19681311} + 10 \sqrt{183.56822979} - 9 \sqrt{5.68328157}$

Этап 17

Найдем вторую производную в $x = \sqrt{0.31671842}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$20 {(\sqrt{0.31671842})}^{3} - 60 \sqrt{0.31671842}$

Этап 18

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Перепишем ${\sqrt{0.31671842}}^{3}$ в виде $\sqrt{{0.31671842}^{3}}$ .

$20 \sqrt{{0.31671842}^{3}} - 60 \sqrt{0.31671842}$

Этап 18.2

Возведем $0.31671842$ в степень $3$ .

$20 \sqrt{0.0317702} - 60 \sqrt{0.31671842}$

Этап 19

$x = \sqrt{0.31671842}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \sqrt{0.31671842}$ — локальный максимум

Этап 20

Найдем значение y, если $x = \sqrt{0.31671842}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{0.31671842}$ .

$f (\sqrt{0.31671842}) = {(\sqrt{0.31671842})}^{5} - 10 {(\sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (\sqrt{0.31671842})$

Этап 20.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{0.31671842}}^{5}$ в виде $\sqrt{{0.31671842}^{5}}$ .

$f (\sqrt{0.31671842}) = \sqrt{{0.31671842}^{5}} - 10 {(\sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (\sqrt{0.31671842})$

Этап 20.2.1.2

Возведем $0.31671842$ в степень $5$ .

$f (\sqrt{0.31671842}) = \sqrt{0.00318688} - 10 {(\sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (\sqrt{0.31671842})$

Этап 20.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{0.31671842}}^{3}$ в виде $\sqrt{{0.31671842}^{3}}$ .

$f (\sqrt{0.31671842}) = \sqrt{0.00318688} - 10 \sqrt{{0.31671842}^{3}} + 9 (\sqrt{0.31671842})$

Этап 20.2.1.4

Возведем $0.31671842$ в степень $3$ .

$f (\sqrt{0.31671842}) = \sqrt{0.00318688} - 10 \sqrt{0.0317702} + 9 \sqrt{0.31671842}$

Этап 20.2.2

Окончательный ответ: $\sqrt{0.00318688} - 10 \sqrt{0.0317702} + 9 \sqrt{0.31671842}$ .

$y = \sqrt{0.00318688} - 10 \sqrt{0.0317702} + 9 \sqrt{0.31671842}$

Этап 21

Найдем вторую производную в $x = - \sqrt{0.31671842}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$20 {(- \sqrt{0.31671842})}^{3} - 60 (- \sqrt{0.31671842})$

Этап 22

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{0.31671842}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.31671842}}^{3}) - 60 (- \sqrt{0.31671842})$

Этап 22.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$20 (- {\sqrt{0.31671842}}^{3}) - 60 (- \sqrt{0.31671842})$

Этап 22.3

Перепишем ${\sqrt{0.31671842}}^{3}$ в виде $\sqrt{{0.31671842}^{3}}$ .

$20 (- \sqrt{{0.31671842}^{3}}) - 60 (- \sqrt{0.31671842})$

Этап 22.4

Возведем $0.31671842$ в степень $3$ .

$20 (- \sqrt{0.0317702}) - 60 (- \sqrt{0.31671842})$

Этап 22.5

Умножим $- 1$ на $20$ .

$- 20 \sqrt{0.0317702} - 60 (- \sqrt{0.31671842})$

Этап 22.6

Умножим $- 1$ на $- 60$ .

$- 20 \sqrt{0.0317702} + 60 \sqrt{0.31671842}$

Этап 23

$x = - \sqrt{0.31671842}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \sqrt{0.31671842}$ — локальный минимум

Этап 24

Найдем значение y, если $x = - \sqrt{0.31671842}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{0.31671842}$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = {(- \sqrt{0.31671842})}^{5} - 10 {(- \sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Этап 24.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{0.31671842}$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = {(- 1)}^{5} {\sqrt{0.31671842}}^{5} - 10 {(- \sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Этап 24.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - {\sqrt{0.31671842}}^{5} - 10 {(- \sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Этап 24.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{0.31671842}}^{5}$ в виде $\sqrt{{0.31671842}^{5}}$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{{0.31671842}^{5}} - 10 {(- \sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Этап 24.2.1.4

Возведем $0.31671842$ в степень $5$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} - 10 {(- \sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Этап 24.2.1.5

Применим правило умножения к $- \sqrt{0.31671842}$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} - 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.31671842}}^{3}) + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Этап 24.2.1.6

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} - 10 (- {\sqrt{0.31671842}}^{3}) + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Этап 24.2.1.7

Перепишем ${\sqrt{0.31671842}}^{3}$ в виде $\sqrt{{0.31671842}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} - 10 (- \sqrt{{0.31671842}^{3}}) + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Этап 24.2.1.8

Возведем $0.31671842$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} - 10 (- \sqrt{0.0317702}) + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Этап 24.2.1.9

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} + 10 \sqrt{0.0317702} + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Этап 24.2.1.10

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} + 10 \sqrt{0.0317702} - 9 \sqrt{0.31671842}$

Этап 24.2.2

Окончательный ответ: $- \sqrt{0.00318688} + 10 \sqrt{0.0317702} - 9 \sqrt{0.31671842}$ .

$y = - \sqrt{0.00318688} + 10 \sqrt{0.0317702} - 9 \sqrt{0.31671842}$

Этап 25

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$ .

$(\sqrt{5.68328157}, \sqrt{5929.19681311} - 10 \sqrt{183.56822979} + 9 \sqrt{5.68328157})$ — локальный минимум

$(- \sqrt{5.68328157}, - \sqrt{5929.19681311} + 10 \sqrt{183.56822979} - 9 \sqrt{5.68328157})$ — локальный максимум

$(\sqrt{0.31671842}, \sqrt{0.00318688} - 10 \sqrt{0.0317702} + 9 \sqrt{0.31671842})$ — локальный максимум

$(- \sqrt{0.31671842}, - \sqrt{0.00318688} + 10 \sqrt{0.0317702} - 9 \sqrt{0.31671842})$ — локальный минимум

Этап 26