Алгебра Примеры

$3 x^{2} + 4 x = y$ , $[0, 100]$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $y = 3 x^{2} + 4 x$ .

$y = 3 x^{2} + 4 x$

Этап 2

Теорема о промежуточном значении утверждает, что если $f$ является непрерывной функцией с действительными значениями на интервале $[a, b]$ , а число $u$ лежит между $f (a)$ и $f (b)$ , то существует такое число $c$ на интервале $[a, b]$ , что $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Вычислим $f (a) = f (0) = 3 {(0)}^{2} + 4 (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 4 (0)$

Этап 4.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 4 (0)$

Этап 4.1.3

Умножим $4$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 4.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 5

Вычислим $f (b) = f (100) = 3 {(100)}^{2} + 4 (100)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $100$ в степень $2$ .

$f (100) = 3 \cdot 10000 + 4 (100)$

Этап 5.1.2

Умножим $3$ на $10000$ .

$f (100) = 30000 + 4 (100)$

Этап 5.1.3

Умножим $4$ на $100$ .

$f (100) = 30000 + 400$

Этап 5.2

Добавим $30000$ и $400$ .

$f (100) = 30400$

Этап 6

Так как $0$ находится в интервале $[0, 30400]$ , решим уравнение в отношении $x$ , приравняв $y$ к $0$ в $y = 3 x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $3 x^{2} + 4 x = 0$ .

$3 x^{2} + 4 x = 0$

Этап 6.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$x (3 x) + 4 x = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$x (3 x) + x \cdot 4 = 0$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x) + x \cdot 4$ .

$x (3 x + 4) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$3 x + 4 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.5

Приравняем $3 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $3 x + 4$ к $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Этап 6.5.2

Решим $3 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 4$

Этап 6.5.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 6.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 6.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Этап 6.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{3}$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (3 x + 4) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{4}{3}$

Этап 7

Теорема о промежуточном значении утверждает, что на интервале $[0, 30400]$ существует корень $f (c) = 0$ , поскольку $f$ является непрерывной функцией на $[0, 100]$ .

Корни на интервале $[0, 100]$ расположены в $x = 0$ .

Этап 8