Алгебра Примеры

$\frac{x^{2}}{15} + \frac{y^{2}}{45} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{15} + \frac{y^{2}}{45} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 3 \sqrt{5}$

$b = \sqrt{15}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 5

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(3 \sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{15})}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило умножения к $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} {\sqrt{5}}^{2} - {\sqrt{15}}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Этап 6.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 {\sqrt{5}}^{2} - {\sqrt{15}}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Этап 6.1.3

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{15}}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Этап 6.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{15}}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Этап 6.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{15}}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Этап 6.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{15}}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Этап 6.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 5^{1} - {\sqrt{15}}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Этап 6.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 5 - {\sqrt{15}}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Этап 6.1.4

Умножим $9$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{45 - {\sqrt{15}}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Этап 6.1.5

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{45 - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3 \sqrt{5}}$

Этап 6.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{45 - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3 \sqrt{5}}$

Этап 6.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{45 - 15^{\frac{2}{2}}}}{3 \sqrt{5}}$

Этап 6.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{45 - 15^{\frac{2}{2}}}}{3 \sqrt{5}}$

Этап 6.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{45 - 15^{1}}}{3 \sqrt{5}}$

Этап 6.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{45 - 1 \cdot 15}}{3 \sqrt{5}}$

Этап 6.1.6

Умножим $- 1$ на $15$ .

$\frac{\sqrt{45 - 15}}{3 \sqrt{5}}$

Этап 6.1.7

Вычтем $15$ из $45$ .

$\frac{\sqrt{30}}{3 \sqrt{5}}$

Этап 6.2

Объединим $\sqrt{30}$ и $\sqrt{5}$ под одним знаком корня.

$\frac{\sqrt{\frac{30}{5}}}{3}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $30$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $5$ из $30$ .

$\frac{\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5}}}{3}$

Этап 6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5 (1)}}}{3}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 1}}}{3}$

Этап 6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{\frac{6}{1}}}{3}$

Этап 6.3.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Десятичная форма:

$0.81649658 \dots$

Этап 8