Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} + 13 x + 54}{x + 6}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 13 x + 54$ и $g (x) = x + 6$ .

$\frac{(x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2} + 13 x + 54] - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 13 x + 54$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [54]$ .

$\frac{(x + 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [54]) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [54]) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [13 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $13$ является константой относительно $x$ , производная $13 x$ по $x$ равна $13 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + 13 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [54]) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + 13 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [54]) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $13$ на $1$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + 13 + \frac{d}{d x} [54]) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $54$ является константой относительно $x$ , производная $54$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + 13 + 0) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 4.2

Добавим $2 x + 13$ и $0$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 4.3

По правилу суммы производная $x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) - (x^{2} + 13 x + 54) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) - (x^{2} + 13 x + 54) (1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 4.5

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) - (x^{2} + 13 x + 54) (1 + 0)}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 4.6

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) - (x^{2} + 13 x + 54) \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) + (- x^{2} - (13 x) - 1 \cdot 54) \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Развернем $(x + 6) (2 x + 13)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x + 13) + 6 (2 x + 13) - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 13 + 6 (2 x + 13) - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 13 + 6 (2 x) + 6 \cdot 13 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 13 + 6 (2 x) + 6 \cdot 13 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 13 + 6 (2 x) + 6 \cdot 13 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 13 + 6 (2 x) + 6 \cdot 13 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2.1.3

Перенесем $13$ влево от $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 \cdot x + 6 (2 x) + 6 \cdot 13 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2.1.4

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x + 12 x + 6 \cdot 13 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2.1.5

Умножим $6$ на $13$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x + 12 x + 78 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2.2

Добавим $13 x$ и $12 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 25 x + 78 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 25 x + 78 - x^{2} - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.4

Умножим $13$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 25 x + 78 - x^{2} - 13 x \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.5

Умножим $- 13$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 25 x + 78 - x^{2} - 13 x - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.6

Умножим $- 1 \cdot 54 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.6.1

Умножим $- 1$ на $54$ .

$\frac{2 x^{2} + 25 x + 78 - x^{2} - 13 x - 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.6.2

Умножим $- 54$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 25 x + 78 - x^{2} - 13 x - 54}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 25 x + 78 - 13 x - 54}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.3

Вычтем $13 x$ из $25 x$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 78 - 54}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.4

Вычтем $54$ из $78$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 24}{{(x + 6)}^{2}}$