Алгебра Примеры

$\frac{4 x^{5} + 17 x^{4} - 16 x^{3} - 5 x^{2} + x}{4 x^{2} + 21 x + 5}$

Этап 1

Разделим, используя метод деления многочленов в столбик.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{5} + 21 x^{4} + 5 x^{3}$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{4} - 21 x^{3} - 5 x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0$

Этап 1.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0$

$x$

$0$

Этап 1.12

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x^{3} - x^{2} + \frac{x}{4 x^{2} + 21 x + 5}$

Этап 2

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ , а сумма — $b = 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $21$ из $21 x$ .

$\frac{x}{4 x^{2} + 21 (x) + 5}$

Этап 2.1.1.2

Запишем $21$ как $1$ плюс $20$

$\frac{x}{4 x^{2} + (1 + 20) x + 5}$

Этап 2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x}{4 x^{2} + 1 x + 20 x + 5}$

Этап 2.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x}{4 x^{2} + x + 20 x + 5}$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{x}{(4 x^{2} + x) + 20 x + 5}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x}{x (4 x + 1) + 5 (4 x + 1)}$

Этап 2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x + 1$ .

$\frac{x}{(4 x + 1) (x + 5)}$

Этап 2.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{4 x + 1}$

Этап 2.3

$\frac{A}{4 x + 1} + \frac{B}{x + 5}$

Этап 2.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(4 x + 1) (x + 5)$ .

$\frac{x (4 x + 1) (x + 5)}{(4 x + 1) (x + 5)} = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $4 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (4 x + 1) (x + 5)}{(4 x + 1) (x + 5)} = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 2.6.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Сократим общий множитель $4 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{A (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 2.7.1.2

Разделим $(A) (x + 5)$ на $1$ .

$x = (A) (x + 5) + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = A x + A \cdot 5 + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 2.7.3

Перенесем $5$ влево от $A$ .

$x = A x + 5 \cdot A + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 2.7.4

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$x = A x + 5 A + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 2.7.4.2

Разделим $(B) (4 x + 1)$ на $1$ .

$x = A x + 5 A + (B) (4 x + 1)$

Этап 2.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x = A x + 5 A + B (4 x) + B \cdot 1$

Этап 2.7.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = A x + 5 A + 4 B x + B \cdot 1$

Этап 2.7.7

Умножим $B$ на $1$ .

$x = A x + 5 A + 4 B x + B$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Перенесем $B$ .

$x = A x + 5 A + 4 x B + B$

Этап 2.8.2

Перенесем $5 A$ .

$x = A x + 4 x B + 5 A + B$

Этап 3

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + 4 B$

Этап 3.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 5 A + B$

Этап 3.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + 4 B$

$0 = 5 A + B$

$1 = A + 4 B$

$0 = 5 A + B$

Этап 4

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + 4 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + 4 B = 1$ .

$A + 4 B = 1$

$0 = 5 A + B$

Этап 4.1.2

Вычтем $4 B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 A + B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 A + B$

Этап 4.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - 4 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = 5 A + B$ на $1 - 4 B$ .

$0 = 5 (1 - 4 B) + B$

$A = 1 - 4 B$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $5 (1 - 4 B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = 5 \cdot 1 + 5 (- 4 B) + B$

$A = 1 - 4 B$

Этап 4.2.2.1.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$0 = 5 + 5 (- 4 B) + B$

$A = 1 - 4 B$

Этап 4.2.2.1.1.3

Умножим $- 4$ на $5$ .

$0 = 5 - 20 B + B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 - 20 B + B$

$A = 1 - 4 B$

Этап 4.2.2.1.2

Добавим $- 20 B$ и $B$ .

$0 = 5 - 19 B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 - 19 B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 - 19 B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 - 19 B$

$A = 1 - 4 B$

Этап 4.3

Решим относительно $B$ в $0 = 5 - 19 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем уравнение в виде $5 - 19 B = 0$ .

$5 - 19 B = 0$

$A = 1 - 4 B$

Этап 4.3.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 19 B = - 5$

$A = 1 - 4 B$

Этап 4.3.3

Разделим каждый член $- 19 B = - 5$ на $- 19$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим каждый член $- 19 B = - 5$ на $- 19$ .

$\frac{- 19 B}{- 19} = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

Этап 4.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 19 B}{- 19} = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

Этап 4.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

Этап 4.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - 4 B$

Этап 4.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{5}{19}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - 4 B$ на $\frac{5}{19}$ .

$A = 1 - 4 (\frac{5}{19})$

$B = \frac{5}{19}$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим $1 - 4 (\frac{5}{19})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Умножим $- 4 (\frac{5}{19})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1.1

Объединим $- 4$ и $\frac{5}{19}$ .

$A = 1 + \frac{- 4 \cdot 5}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Этап 4.4.2.1.1.1.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$A = 1 + \frac{- 20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 + \frac{- 20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Этап 4.4.2.1.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = 1 - \frac{20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - \frac{20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Этап 4.4.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{19}{19} - \frac{20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Этап 4.4.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{19 - 20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Этап 4.4.2.1.2.3

Вычтем $20$ из $19$ .

$A = \frac{- 1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Этап 4.4.2.1.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Этап 4.5

Перечислим все решения.

$A = - \frac{1}{19}, B = \frac{5}{19}$

Этап 5

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $x^{3} - x^{2} + \frac{A}{4 x + 1} + \frac{B}{x + 5}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$x^{3} - x^{2} + \frac{- \frac{1}{19}}{4 x + 1} + \frac{\frac{5}{19}}{x + 5}$