Алгебра Примеры

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} + 6 x^{2} + 20 x + 6}{x^{3} + 2 x^{2} + x}$

Этап 1

Разделим, используя метод деления многочленов в столбик.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$20 x$

$6$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$20 x$

$6$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$20 x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 0$ .

$x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$20 x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$20 x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$20 x$

Этап 1.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$20 x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$20 x$

$6$

Этап 1.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x + \frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x^{3} + 2 x^{2} + x}$

Этап 2

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 2 x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x \cdot x^{2} + 2 x^{2} + x}$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x}$

Этап 2.1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x^{1}}$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1}$

Этап 2.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (2 x)$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x (x^{2} + 2 x) + x \cdot 1}$

Этап 2.1.1.6

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + 2 x) + x \cdot 1$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x (x^{2} + 2 x + 1)}$

Этап 2.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x (x^{2} + 2 x + 1^{2})}$

Этап 2.1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 2.1.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 2.1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x {(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 2.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(5 x^{2} + 20 x + 6) (x {(x + 1)}^{2})}{x {(x + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x^{2} + 20 x + 6) (x {(x + 1)}^{2})}{x {(x + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(5 x^{2} + 20 x + 6) ({(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x^{2} + 20 x + 6) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.6.2

Разделим $5 x^{2} + 20 x + 6$ на $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = \frac{A (x {(x + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Сократим общий множитель.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = \frac{A (x {(x + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.7.1.2

Разделим $A ({(x + 1)}^{2})$ на $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A ({(x + 1)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.7.2

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A ((x + 1) (x + 1)) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.7.3

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x (x + 1) + 1 (x + 1)) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.7.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.7.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.7.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.7.4.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.7.4.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.7.4.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x^{2} + x + x + 1) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.7.4.2

Добавим $x$ и $x$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x^{2} + 2 x + 1) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + A (2 x) + A \cdot 1 + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.7.6.2

Умножим $A$ на $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.7.7

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.7.1

Сократим общий множитель.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + \frac{B (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.7.7.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 2.7.8

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ и $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.8.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(C) (x {(x + 1)}^{2})$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + \frac{(x + 1) (C (x (x + 1)))}{x + 1}$

Этап 2.7.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.8.2.1

Умножим на $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + \frac{(x + 1) (C (x (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Этап 2.7.8.2.2

Сократим общий множитель.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + \frac{(x + 1) (C (x (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Этап 2.7.8.2.3

Перепишем это выражение.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + \frac{C (x (x + 1))}{1}$

Этап 2.7.8.2.4

Разделим $C (x (x + 1))$ на $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + C (x (x + 1))$

Этап 2.7.9

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Этап 2.7.10

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Этап 2.7.11

Умножим $x$ на $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + C (x^{2} + x)$

Этап 2.7.12

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + C x^{2} + C x$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Перенесем $A$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 x A + A + B x + C x^{2} + C x$

Этап 2.8.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 x A + A + B x + C x^{2} + C x$

Этап 2.8.3

Перенесем $A$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 x A + B x + C x^{2} + C x + A$

Этап 2.8.4

Перенесем $B x$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 x A + C x^{2} + B x + C x + A$

Этап 2.8.5

Перенесем $2 x A$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + C x^{2} + 2 x A + B x + C x + A$

Этап 3

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = A + C$

Этап 3.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$20 = 2 A + B + C$

Этап 3.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$6 = A$

Этап 3.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$5 = A + C$

$20 = 2 A + B + C$

$6 = A$

$5 = A + C$

$20 = 2 A + B + C$

$6 = A$

Этап 4

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $A = 6$ .

$A = 6$

$5 = A + C$

$20 = 2 A + B + C$

Этап 4.2

Заменим все вхождения $A$ на $6$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $5 = A + C$ на $6$ .

$5 = (6) + C$

$A = 6$

$20 = 2 A + B + C$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Избавимся от скобок.

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$20 = 2 A + B + C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$20 = 2 A + B + C$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $A$ в $20 = 2 A + B + C$ на $6$ .

$20 = 2 (6) + B + C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $2$ на $6$ .

$20 = 12 + B + C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$20 = 12 + B + C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$20 = 12 + B + C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

Этап 4.3

Решим относительно $C$ в $5 = 6 + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем уравнение в виде $6 + C = 5$ .

$6 + C = 5$

$20 = 12 + B + C$

$A = 6$

Этап 4.3.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$C = 5 - 6$

$20 = 12 + B + C$

$A = 6$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $6$ из $5$ .

$C = - 1$

$20 = 12 + B + C$

$A = 6$

$C = - 1$

$20 = 12 + B + C$

$A = 6$

$C = - 1$

$20 = 12 + B + C$

$A = 6$

Этап 4.4

Заменим все вхождения $C$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Заменим все вхождения $C$ в $20 = 12 + B + C$ на $- 1$ .

$20 = 12 + B - 1$

$C = - 1$

$A = 6$

Этап 4.4.2

Упростим $20 = 12 + B - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Избавимся от скобок.

$20 = 12 + B - 1$

$C = - 1$

$A = 6$

$20 = 12 + B - 1$

$C = - 1$

$A = 6$

Этап 4.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Вычтем $1$ из $12$ .

$20 = B + 11$

$C = - 1$

$A = 6$

$20 = B + 11$

$C = - 1$

$A = 6$

$20 = B + 11$

$C = - 1$

$A = 6$

$20 = B + 11$

$C = - 1$

$A = 6$

Этап 4.5

Решим относительно $B$ в $20 = B + 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем уравнение в виде $B + 11 = 20$ .

$B + 11 = 20$

$C = - 1$

$A = 6$

Этап 4.5.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$B = 20 - 11$

$C = - 1$

$A = 6$

Этап 4.5.2.2

Вычтем $11$ из $20$ .

$B = 9$

$C = - 1$

$A = 6$

$B = 9$

$C = - 1$

$A = 6$

$B = 9$

$C = - 1$

$A = 6$

Этап 4.6

Решим систему уравнений.

$B = 9 C = - 1 A = 6$

Этап 4.7

Перечислим все решения.

$B = 9, C = - 1, A = 6$

Этап 5

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $x + \frac{A}{x} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$x + \frac{6}{x} + \frac{9}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 1}{x + 1}$