Алгебра Примеры

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} - 1}{\tan (x) - 1}$

Этап 2.2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

Этап 2.3

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на ${\cos (x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$ на $\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} \cdot \frac{\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{{\cos (x)}^{3} (\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1)}{{\cos (x)}^{3} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1)}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{\cos (x)}^{3} \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель ${\cos (x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{\cos (x)}^{3} \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из ${\cos (x)}^{3}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{\cos (x) {\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{\cos (x) {\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем ${\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ в виде ${(\cos (x) \cdot - 1)}^{3}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{3}}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.4.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = \sin (x)$ и $b = \cos (x) \cdot - 1$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - 1 \cdot \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.4.3.2

Перепишем $- 1 \cos (x)$ в виде $- \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.4.3.3

Перенесем $- 1$ влево от $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (- 1 \cdot \cos (x)) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.4.3.4

Перепишем $- 1 \cos (x)$ в виде $- \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (- \cos (x)) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.4.3.5

Умножим $- \sin (x) (- \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + 1 \sin (x) \cos (x) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.4.3.5.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.4.3.6

Перенесем $- 1$ влево от $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- 1 \cdot \cos (x))}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.4.3.7

Перепишем $- 1 \cos (x)$ в виде $- \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- \cos (x))}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.4.3.8

Применим правило умножения к $- \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- 1)}^{2} {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.4.3.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + 1 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.4.3.10

Умножим ${\cos (x)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель ${\cos (x)}^{2}$ из ${\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель ${\cos (x)}^{2}$ из ${\cos (x)}^{2} \sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Этап 3.5.1.2

Вынесем множитель ${\cos (x)}^{2}$ из ${\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{2} (\cos (x) \cdot - 1)}$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель ${\cos (x)}^{2}$ из ${\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{2} (\cos (x) \cdot - 1)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1)}$

Этап 3.5.2

Перенесем $- 1$ влево от $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) - 1 \cdot \cos (x))}$

Этап 3.5.3

Перепишем $- 1 \cos (x)$ в виде $- \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) - \cos (x))}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $\sin (x) - \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ в виде $\tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$ .

$\tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$ — тождество