Алгебра Примеры

$\sec (x) \csc (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\sec (x) \csc (x) (\tan (x) + \cot (x))$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \csc (x) (\tan (x) + \cot (x))$

Этап 2.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} (\tan (x) + \cot (x))$

Этап 2.3

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x))$

Этап 2.4

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sin (x) \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.4

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.9

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x) (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 3.10

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 3.11

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Этап 3.12

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Этап 3.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Этап 3.14

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Этап 5

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

Этап 5.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 5.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 5.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 6

Упростим каждый член.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\sec (x) \csc (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ — тождество