Алгебра Примеры

$\frac{x^{5} + 4 x^{3} - 14}{x - 1}$

Этап 1

Чтобы вычислить остаток, сначала разделим многочлены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{5} - x^{4}$ .

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - x^{3}$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{3}$

Этап 1.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 1.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 1.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Этап 1.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{3} - 5 x^{2}$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Этап 1.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Этап 1.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

Этап 1.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

Этап 1.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{2}$

$5 x$

Этап 1.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{2} - 5 x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{2}$

$5 x$

Этап 1.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{2}$

$5 x$

Этап 1.21

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{2}$

$5 x$

$14$

Этап 1.22

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$5$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{2}$

$5 x$

$14$

Этап 1.23

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$5$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{2}$

$5 x$

$14$

$5 x$

$5$

Этап 1.24

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x - 5$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$5$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{2}$

$5 x$

$14$

$5 x$

$5$

Этап 1.25

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$5$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$14$

$x^{5}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{2}$

$5 x$

$14$

$5 x$

$5$

$9$

Этап 1.26

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x^{4} + x^{3} + 5 x^{2} + 5 x + 5 - \frac{9}{x - 1}$

Этап 2

Поскольку последний член в полученном выражении является дробью, числитель этой дроби является остатком.

$- 9$