Алгебра Примеры

${(2 x + y^{2})}^{4}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(2 x)}^{4 - k} \cdot {(y^{2})}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(2 x)}^{4 - 0} \cdot {(y^{2})}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(2 x)}^{4 - 1} \cdot {(y^{2})}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(2 x)}^{4 - 2} \cdot {(y^{2})}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(2 x)}^{4 - 3} \cdot {(y^{2})}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(2 x)}^{4 - 4} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(2 x)}^{4} \cdot {(y^{2})}^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(2 x)}^{4}$ на $1$ .

${(2 x)}^{4} \cdot {(y^{2})}^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $2 x$ .

$2^{4} x^{4} \cdot {(y^{2})}^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 x^{4} \cdot {(y^{2})}^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.4

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{4} \cdot y^{2 \cdot 0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $0$ .

$16 x^{4} \cdot y^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$16 x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.6

Умножим $16$ на $1$ .

$16 x^{4} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.7

Применим правило умножения к $2 x$ .

$16 x^{4} + 4 \cdot (2^{3} x^{3}) \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.8

Возведем $2$ в степень $3$ .

$16 x^{4} + 4 \cdot (8 x^{3}) \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.9

Умножим $8$ на $4$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.10

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} \cdot y^{2 \cdot 1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.10.2

Умножим $2$ на $1$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} \cdot y^{2} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.11

Применим правило умножения к $2 x$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} y^{2} + 6 \cdot (2^{2} x^{2}) \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} y^{2} + 6 \cdot (4 x^{2}) \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.13

Умножим $4$ на $6$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} y^{2} + 24 x^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.14

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} y^{2} + 24 x^{2} \cdot y^{2 \cdot 2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.14.2

Умножим $2$ на $2$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} y^{2} + 24 x^{2} \cdot y^{4} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.15

Упростим.

$16 x^{4} + 32 x^{3} y^{2} + 24 x^{2} y^{4} + 4 \cdot (2 x) \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.16

Умножим $2$ на $4$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} y^{2} + 24 x^{2} y^{4} + 8 x \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.17

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} y^{2} + 24 x^{2} y^{4} + 8 x \cdot y^{2 \cdot 3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.17.2

Умножим $2$ на $3$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} y^{2} + 24 x^{2} y^{4} + 8 x \cdot y^{6} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.18

Умножим ${(2 x)}^{0}$ на $1$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} y^{2} + 24 x^{2} y^{4} + 8 x y^{6} + {(2 x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.19

Применим правило умножения к $2 x$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} y^{2} + 24 x^{2} y^{4} + 8 x y^{6} + 2^{0} x^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.20

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} y^{2} + 24 x^{2} y^{4} + 8 x y^{6} + 1 x^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.21

Умножим $x^{0}$ на $1$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} y^{2} + 24 x^{2} y^{4} + 8 x y^{6} + x^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.22

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} y^{2} + 24 x^{2} y^{4} + 8 x y^{6} + 1 \cdot {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.23

Умножим ${(y^{2})}^{4}$ на $1$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} y^{2} + 24 x^{2} y^{4} + 8 x y^{6} + {(y^{2})}^{4}$

Этап 4.24

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.24.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} y^{2} + 24 x^{2} y^{4} + 8 x y^{6} + y^{2 \cdot 4}$

Этап 4.24.2

Умножим $2$ на $4$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} y^{2} + 24 x^{2} y^{4} + 8 x y^{6} + y^{8}$