Алгебра Примеры

${(\frac{1}{2} x - y)}^{4}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(\frac{1}{2} x - y)}^{4}$ $n = 4$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $5$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $\frac{1}{2} x$ и $b$ $- y$ в выражение.

$1 {(\frac{1}{2} x)}^{4} {(- y)}^{0} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(\frac{1}{2} x)}^{4}$ на $1$ .

${(\frac{1}{2} x)}^{4} {(- y)}^{0} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

${(\frac{x}{2})}^{4} {(- y)}^{0} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.3

Применим правило умножения к $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{2^{4}} {(- y)}^{0} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.4

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{x^{4}}{16} {(- y)}^{0} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.5

Применим правило умножения к $- y$ .

$\frac{x^{4}}{16} ({(- 1)}^{0} y^{0}) + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(- 1)}^{0} \frac{x^{4}}{16} y^{0} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 \frac{x^{4}}{16} y^{0} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.8

Умножим $\frac{x^{4}}{16}$ на $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} y^{0} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.9

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} \cdot 1 + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.10

Умножим $\frac{x^{4}}{16}$ на $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{x^{4}}{16} + 4 {(\frac{x}{2})}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.12

Применим правило умножения к $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{16} + 4 \frac{x^{3}}{2^{3}} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.13

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{x^{4}}{16} + 4 \frac{x^{3}}{8} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.14

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{x^{4}}{16} + 4 \frac{x^{3}}{4 (2)} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4}}{16} + 4 \frac{x^{3}}{4 \cdot 2} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{2} {(- y)}^{1} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.15

Упростим.

$\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{2} (- y) + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.16

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{x^{3}}{2} y + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.17

Объединим $y$ и $\frac{x^{3}}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + 6 {(\frac{1}{2} x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.18

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + 6 {(\frac{x}{2})}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.19

Применим правило умножения к $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + 6 \frac{x^{2}}{2^{2}} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.20

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + 6 \frac{x^{2}}{4} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.21

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.21.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + 2 (3) \frac{x^{2}}{4} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.21.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + 2 \cdot 3 \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.21.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + 2 \cdot 3 \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.21.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + 3 \frac{x^{2}}{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.22

Объединим $3$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2} {(- y)}^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.23

Применим правило умножения к $- y$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2} ({(- 1)}^{2} y^{2}) + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.24

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{3 x^{2}}{2} y^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.25

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + 1 \frac{3 x^{2}}{2} y^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.26

Умножим $\frac{3 x^{2}}{2}$ на $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2} y^{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.27

Объединим $\frac{3 x^{2}}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} + 4 {(\frac{1}{2} x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.28

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} + 4 {(\frac{x}{2})}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.29

Упростим.

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} + 4 \frac{x}{2} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.30

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.30.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} + 2 (2) \frac{x}{2} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.30.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} + 2 \cdot 2 \frac{x}{2} {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.30.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} + 2 x {(- y)}^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.31

Применим правило умножения к $- y$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} + 2 x ({(- 1)}^{3} y^{3}) + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.32

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} + 2 \cdot {(- 1)}^{3} x y^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.33

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} + 2 \cdot - 1 x y^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.34

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + 1 {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.35

Умножим ${(\frac{1}{2} x)}^{0}$ на $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + {(\frac{1}{2} x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.36

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + {(\frac{x}{2})}^{0} {(- y)}^{4}$

Этап 4.37

Применим правило умножения к $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + \frac{x^{0}}{2^{0}} {(- y)}^{4}$

Этап 4.38

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + \frac{1}{2^{0}} {(- y)}^{4}$

Этап 4.39

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + \frac{1}{1} {(- y)}^{4}$

Этап 4.40

Разделим $1$ на $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + 1 {(- y)}^{4}$

Этап 4.41

Умножим ${(- y)}^{4}$ на $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + {(- y)}^{4}$

Этап 4.42

Применим правило умножения к $- y$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + {(- 1)}^{4} y^{4}$

Этап 4.43

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + 1 y^{4}$

Этап 4.44

Умножим $y^{4}$ на $1$ .

$\frac{x^{4}}{16} - \frac{y x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y^{3} + y^{4}$