Алгебра Примеры

${(x + 1)}^{4}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(x + 1)}^{4}$ $n = 4$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $5$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $x$ и $b$ $1$ в выражение.

$1 {(x)}^{4} {(1)}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $1$ на ${(1)}^{0}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перенесем ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 {(x)}^{4} + 4 {(x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.1.2

Умножим ${(1)}^{0}$ на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $1$ в степень $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} {(x)}^{4} + 4 {(x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1^{0 + 1} {(x)}^{4} + 4 {(x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.1.3

Добавим $0$ и $1$ .

$1^{1} {(x)}^{4} + 4 {(x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.2

Упростим $1^{1} {(x)}^{4}$ .

${(x)}^{4} + 4 {(x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.3

Найдем экспоненту.

$x^{4} + 4 x^{3} \cdot 1 + 6 {(x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.4

Умножим $4$ на $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 6 {(x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.5

Единица в любой степени равна единице.

$x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1 + 4 {(x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.6

Умножим $6$ на $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 {(x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.7

Упростим.

$x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x {(1)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.8

Единица в любой степени равна единице.

$x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.9

Умножим $4$ на $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1 {(x)}^{0} {(1)}^{4}$

Этап 4.10

Умножим $1$ на ${(1)}^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Перенесем ${(1)}^{4}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + {(1)}^{4} \cdot 1 {(x)}^{0}$

Этап 4.10.2

Умножим ${(1)}^{4}$ на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Возведем $1$ в степень $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + {(1)}^{4} \cdot 1^{1} {(x)}^{0}$

Этап 4.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1^{4 + 1} {(x)}^{0}$

Этап 4.10.3

Добавим $4$ и $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1^{5} {(x)}^{0}$

Этап 4.11

Упростим $1^{5} {(x)}^{0}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1^{5}$

Этап 4.12

Единица в любой степени равна единице.

$x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1$