Алгебра Примеры

$\frac{x + 3}{4} + \frac{y - 1}{3} = 1$ , $2 x - y = 12$

Этап 1

Приведем каждое уравнение плоскости в стандартную форму.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы записать $\frac{x + 3}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} = 1, 2 x - y = 12$

Этап 1.1.2

Чтобы записать $\frac{y - 1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Этап 1.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим $\frac{x + 3}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Этап 1.1.3.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Этап 1.1.3.3

Умножим $\frac{y - 1}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{3 \cdot 4} = 1, 2 x - y = 12$

Этап 1.1.3.4

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Этап 1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 3) \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Этап 1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 3 + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Этап 1.1.5.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{3 \cdot x + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Этап 1.1.5.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{3 \cdot x + 9 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Этап 1.1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x + 9 + y \cdot 4 - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Этап 1.1.5.5

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Этап 1.1.5.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Этап 1.1.5.7

Вычтем $4$ из $9$ .

$\frac{3 x + 4 y + 5}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Этап 1.2

Разобьем дробь $\frac{3 x + 4 y + 5}{12}$ на две дроби.

$\frac{3 x + 4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Этап 1.3

Разобьем дробь $\frac{3 x + 4 y}{12}$ на две дроби.

$\frac{3 x}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $3$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{3 (x)}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $4$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y$ .

$\frac{x}{4} + \frac{4 (y)}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Этап 1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Этап 1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Этап 1.6

Вычтем $\frac{5}{12}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

Этап 1.7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

Этап 1.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12 - 5}{12}, 2 x - y = 12$

Этап 1.7.3

Вычтем $5$ из $12$ .

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}, 2 x - y = 12$

Этап 2

Чтобы найти пересечение прямой, проходящей через точку $(p, q, r)$ перпендикулярно плоскости $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ , с плоскостью $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Найдем векторы нормали плоскости $P_{1}$ и плоскости $P_{2}$ , где векторы нормали — это $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ и $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Проверим, равно ли скалярное произведение 0.

2. Создадим набор параметрических уравнений, таких как $x = p + a t$ , $y = q + b t$ и $z = r + c t$ .

3. Подставим эти уравнения в уравнение для плоскости $P_{2}$ так, чтобы $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ , и решим для $t$

4. Используя значение $t$ , решим параметрические уравнения $x = p + a t$ , $y = q + b t$ и $z = r + c t$ относительно $t$ , чтобы найти пересечение $(x, y, z)$ .

Этап 3

Найдем нормальные векторы для каждой плоскости и определим, перпендикулярны ли они, вычислив скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$P_{1}$ представляет собой $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ . Найдем вектор нормали $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ из уравнения плоскости вида $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, 0 ⟩$

Этап 3.2

$P_{2}$ представляет собой $2 x - y = 12$ . Найдем вектор нормали $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ из уравнения плоскости вида $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 2, - 1, 0 ⟩$

Этап 3.3

Вычислим скалярное произведение $n_{1}$ и $n_{2}$ , суммируя произведения соответствующих значений $x$ , $y$ и $z$ в векторах нормали.

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Этап 3.4

Упростим скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Избавимся от скобок.

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Этап 3.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Этап 3.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Этап 3.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Этап 3.4.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{3} + 0 \cdot 0$

Этап 3.4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0 \cdot 0$

Этап 3.4.2.4

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0$

Этап 3.4.3

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + 0$

Этап 3.4.4

Чтобы записать $- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Этап 3.4.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Этап 3.4.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Этап 3.4.5.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} + 0$

Этап 3.4.5.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6} + 0$

Этап 3.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - 2}{6} + 0$

Этап 3.4.7

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1}{6} + 0$

Этап 3.4.8

Добавим $\frac{1}{6}$ и $0$ .

$\frac{1}{6}$

Этап 4

Затем составим набор параметрических уравнений $x = p + a t$ , $y = q + b t$ и $z = r + c t$ , используя начало координат $(0, 0, 0)$ для точки $(p, q, r)$ и значения из вектора нормали $\frac{1}{6}$ для получения значений $a$ , $b$ и $c$ . Этот набор параметрических уравнений представляет прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную $P_{1}$ $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} t$

$y = 0 + \frac{1}{3} t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Этап 5

Подставим выражение для $x$ , $y$ и $z$ в уравнение для $P_{2}$ $2 x - y = 12$ .

$2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

Этап 6

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим противоположные члены в $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Добавим $0$ и $\frac{1}{4} t$ .

$2 (\frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

Этап 6.1.1.2

Добавим $0$ и $\frac{1}{3} t$ .

$2 (\frac{1}{4} t) - (\frac{1}{3} t) = 12$

Этап 6.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $t$ .

$2 \frac{t}{4} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Этап 6.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \frac{t}{2 (2)} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Этап 6.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{t}{2 \cdot 2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Этап 6.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Этап 6.1.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t$ .

$\frac{t}{2} - \frac{t}{3} = 12$

Этап 6.1.3

Чтобы записать $\frac{t}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} = 12$

Этап 6.1.4

Чтобы записать $- \frac{t}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Этап 6.1.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Умножим $\frac{t}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Этап 6.1.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Этап 6.1.5.3

Умножим $\frac{t}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{3 \cdot 2} = 12$

Этап 6.1.5.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{6} = 12$

Этап 6.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{t \cdot 3 - t \cdot 2}{6} = 12$

Этап 6.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot 3 - t \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1.1

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot 3$ .

$\frac{t (3) - t \cdot 2}{6} = 12$

Этап 6.1.7.1.2

Вынесем множитель $t$ из $- t \cdot 2$ .

$\frac{t (3) + t (- 1 \cdot 2)}{6} = 12$

Этап 6.1.7.1.3

Вынесем множитель $t$ из $t (3) + t (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{t (3 - 1 \cdot 2)}{6} = 12$

Этап 6.1.7.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{t (3 - 2)}{6} = 12$

Этап 6.1.7.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{t \cdot 1}{6} = 12$

Этап 6.1.8

Умножим $t$ на $1$ .

$\frac{t}{6} = 12$

Этап 6.2

Умножим обе части уравнения на $6$ .

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

Этап 6.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

Этап 6.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$t = 6 \cdot 12$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $6$ на $12$ .

$t = 72$

Этап 7

Решим параметрические уравнения относительно $x$ , $y$ и $z$ , используя значение $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $72$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot 72$

Этап 7.1.2

Избавимся от скобок.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$

Этап 7.1.3

Упростим $0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $72$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 (18))$

Этап 7.1.3.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 18)$

Этап 7.1.3.1.3

Перепишем это выражение.

$x = 0 + 18$

Этап 7.1.3.2

Добавим $0$ и $18$ .

$x = 18$

Этап 7.2

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $72$ .

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot 72$

Этап 7.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$

Этап 7.2.3

Упростим $0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $72$ .

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 (24))$

Этап 7.2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 24)$

Этап 7.2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$y = 0 + 24$

Этап 7.2.3.2

Добавим $0$ и $24$ .

$y = 24$

Этап 7.3

Решим уравнение относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Избавимся от скобок.

$z = 0 + 0 \cdot (72)$

Этап 7.3.2

Упростим $0 + 0 \cdot (72)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $0$ на $72$ .

$z = 0 + 0$

Этап 7.3.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$z = 0$

Этап 7.4

Решенные параметрические уравнения относительно $x$ , $y$ и $z$ .

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

Этап 8

Использование значений, вычисленных для $x$ , $y$ и $z$ , найденная точка пересечения: $(18, 24, 0)$ .

$(18, 24, 0)$