Алгебра Примеры

$f (x) = x^{5} - 3 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 6 x + 8$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$f (x) = x^{5} - 5 x^{2} - 6 x - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Этап 2

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} - 5 x^{2} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$f (x) = x \cdot x^{4} - 5 x^{2} - 6 x - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x^{2}$ .

$f (x) = x \cdot x^{4} + x (- 5 x) - 6 x - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x$ из $- 6 x$ .

$f (x) = x \cdot x^{4} + x (- 5 x) + x \cdot - 6 - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Этап 2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x (- 5 x)$ .

$f (x) = x (x^{4} - 5 x) + x \cdot - 6 - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Этап 2.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{4} - 5 x) + x \cdot - 6$ .

$f (x) = x (x^{4} - 5 x - 6) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Этап 3

Разложим $x^{4} - 5 x - 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 3.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$f (x) = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Этап 3.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$f (x) = {(- 1)}^{4} - 5 \cdot - 1 - 6$

Этап 3.3.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (x) = 1 - 5 \cdot - 1 - 6$

Этап 3.3.3

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$f (x) = 1 + 5 - 6$

Этап 3.3.4

Добавим $1$ и $5$ .

$f (x) = 6 - 6$

Этап 3.3.5

Вычтем $6$ из $6$ .

$f (x) = 0$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$f (x) = \frac{x^{4} - 5 x - 6}{x + 1}$

Этап 3.5

Разделим $x^{4} - 5 x - 6$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$f (x) =$

Этап 3.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 3.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 3.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + x^{3}$ .

$f (x) =$

Этап 3.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 3.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 3.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 3.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 3.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} - x^{2}$ .

$f (x) =$

Этап 3.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 3.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 3.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 3.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 3.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + x$ .

$f (x) =$

Этап 3.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 3.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 3.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 3.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 3.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x - 6$ .

$f (x) =$

Этап 3.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 3.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$f (x) = x^{3} - x^{2} + x - 6$

Этап 3.6

Запишем $x^{4} - 5 x - 6$ в виде набора множителей.

$f (x) = x ((x + 1) (x^{3} - x^{2} + x - 6)) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Этап 4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим $x^{3} - x^{2} + x - 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Разложим $x^{3} - x^{2} + x - 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$f (x) = p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 4.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$f (x) = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Этап 4.1.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$f (x) = 2^{3} - 2^{2} + 2 - 6$

Этап 4.1.1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (x) = 8 - 2^{2} + 2 - 6$

Этап 4.1.1.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (x) = 8 - 1 \cdot 4 + 2 - 6$

Этап 4.1.1.3.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (x) = 8 - 4 + 2 - 6$

Этап 4.1.1.3.5

Вычтем $4$ из $8$ .

$f (x) = 4 + 2 - 6$

Этап 4.1.1.3.6

Добавим $4$ и $2$ .

$f (x) = 6 - 6$

Этап 4.1.1.3.7

Вычтем $6$ из $6$ .

$f (x) = 0$

Этап 4.1.1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} + x - 6}{x - 2}$

Этап 4.1.1.5

Разделим $x^{3} - x^{2} + x - 6$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.5.1

$f (x) =$

Этап 4.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 4.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 4.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

$f (x) =$

Этап 4.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 4.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 4.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 4.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 4.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - 2 x$ .

$f (x) =$

Этап 4.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 4.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 4.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 4.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 4.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x - 6$ .

$f (x) =$

Этап 4.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 4.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$f (x) = x^{2} + x + 3$

Этап 4.1.1.6

Запишем $x^{3} - x^{2} + x - 6$ в виде набора множителей.

$f (x) = x ((x + 1) ((x - 2) (x^{2} + x + 3))) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Этап 4.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = x ((x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3)) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Этап 4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Этап 5

Разложим $- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 5.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Этап 5.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$f (x) = - 3 {(- 1)}^{4} + 5 {(- 1)}^{3} + 8$

Этап 5.3.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (x) = - 3 \cdot 1 + 5 {(- 1)}^{3} + 8$

Этап 5.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (x) = - 3 + 5 {(- 1)}^{3} + 8$

Этап 5.3.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (x) = - 3 + 5 \cdot - 1 + 8$

Этап 5.3.5

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f (x) = - 3 - 5 + 8$

Этап 5.3.6

Вычтем $5$ из $- 3$ .

$f (x) = - 8 + 8$

Этап 5.3.7

Добавим $- 8$ и $8$ .

$f (x) = 0$

Этап 5.4

$f (x) = \frac{- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8}{x + 1}$

Этап 5.5

Разделим $- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

$f (x) =$

Этап 5.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 5.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 5.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{4} - 3 x^{3}$ .

$f (x) =$

Этап 5.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 5.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 5.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 5.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 5.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x^{3} + 8 x^{2}$ .

$f (x) =$

Этап 5.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 5.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 5.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 5.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 5.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x^{2} - 8 x$ .

$f (x) =$

Этап 5.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 5.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 5.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 5.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 5.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x + 8$ .

$f (x) =$

Этап 5.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 5.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$f (x) = - 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$

Этап 5.6

Запишем $- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$ в виде набора множителей.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) (- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8)$

Этап 6

Разложим $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разложим $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 6.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Этап 6.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$f (x) = - 3 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 8$

Этап 6.1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (x) = - 3 \cdot 8 + 8 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 8$

Этап 6.1.3.3

Умножим $- 3$ на $8$ .

$f (x) = - 24 + 8 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 8$

Этап 6.1.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (x) = - 24 + 8 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 8$

Этап 6.1.3.5

Умножим $8$ на $4$ .

$f (x) = - 24 + 32 - 8 \cdot 2 + 8$

Этап 6.1.3.6

Добавим $- 24$ и $32$ .

$f (x) = 8 - 8 \cdot 2 + 8$

Этап 6.1.3.7

Умножим $- 8$ на $2$ .

$f (x) = 8 - 16 + 8$

Этап 6.1.3.8

Вычтем $16$ из $8$ .

$f (x) = - 8 + 8$

Этап 6.1.3.9

Добавим $- 8$ и $8$ .

$f (x) = 0$

Этап 6.1.4

$f (x) = \frac{- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8}{x - 2}$

Этап 6.1.5

Разделим $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

$f (x) =$

Этап 6.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 6.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 6.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{3} + 6 x^{2}$ .

$f (x) =$

Этап 6.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 6.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 6.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 6.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 6.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} - 4 x$ .

$f (x) =$

Этап 6.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 6.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 6.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 6.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 6.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x + 8$ .

$f (x) =$

Этап 6.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 6.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$f (x) = - 3 x^{2} + 2 x - 4$

Этап 6.1.6

Запишем $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ в виде набора множителей.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) ((x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4))$

Этап 6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Этап 7

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 2)$ из $x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 2)$ из $x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3)$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) ((x) (x^{2} + x + 3)) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 2)$ из $(x + 1) (x - 2) ((x) (x^{2} + x + 3)) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) ((x) (x^{2} + x + 3) - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Этап 8

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Этап 9.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Этап 9.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Этап 9.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x^{2} + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Этап 9.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 3 \cdot x - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 3 x - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Этап 10

Вычтем $3 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2 x - 4)$

Этап 11

Добавим $3 x$ и $2 x$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4)$

Этап 12

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Разложим $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

$f (x) = p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 12.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$f (x) = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 12.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$f (x) = 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 4$

Этап 12.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$f (x) = 1 - 2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 4$

Этап 12.1.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$f (x) = 1 - 2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 4$

Этап 12.1.3.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (x) = 1 - 2 + 5 \cdot 1 - 4$

Этап 12.1.3.5

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (x) = - 1 + 5 \cdot 1 - 4$

Этап 12.1.3.6

Умножим $5$ на $1$ .

$f (x) = - 1 + 5 - 4$

Этап 12.1.3.7

Добавим $- 1$ и $5$ .

$f (x) = 4 - 4$

Этап 12.1.3.8

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (x) = 0$

Этап 12.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4}{x - 1}$

Этап 12.1.5

Разделим $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.5.1

$f (x) =$

Этап 12.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 12.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 12.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

$f (x) =$

Этап 12.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 12.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 12.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 12.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 12.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} + x$ .

$f (x) =$

Этап 12.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 12.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 12.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 12.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 12.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x - 4$ .

$f (x) =$

Этап 12.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 12.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$f (x) = x^{2} - x + 4$

Этап 12.1.6

Запишем $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4$ в виде набора множителей.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) ((x - 1) (x^{2} - x + 4))$

Этап 12.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x - 1) (x^{2} - x + 4)$