Алгебра Примеры

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{5} - 4 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 4 (3 x^{2})$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 12 x^{2}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $5 x^{4} - 12 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $5 x^{4} - 12 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$5 {(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$5 u^{2} - 12 u = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $5 u^{2} - 12 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $u$ из $5 u^{2}$ .

$u (5 u) - 12 u = 0$

Этап 2.2.3.2

Вынесем множитель $u$ из $- 12 u$ .

$u (5 u) + u \cdot - 12 = 0$

Этап 2.2.3.3

Вынесем множитель $u$ из $u (5 u) + u \cdot - 12$ .

$u (5 u - 12) = 0$

Этап 2.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x^{2} (5 x^{2} - 12) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$5 x^{2} - 12 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $5 x^{2} - 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $5 x^{2} - 12$ к $0$ .

$5 x^{2} - 12 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $5 x^{2} - 12 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$5 x^{2} = 12$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $5 x^{2} = 12$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $5 x^{2} = 12$ на $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{5}$

Этап 2.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{12}{5}}$

Этап 2.5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{12}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{12}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$

Этап 2.5.2.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.2.1

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{5}}$

Этап 2.5.2.4.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Этап 2.5.2.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Этап 2.5.2.4.3

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 2.5.2.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.4.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 2.5.2.4.4.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 2.5.2.4.4.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 2.5.2.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 2.5.2.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.5.2.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.2.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.2.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 2.5.2.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Этап 2.5.2.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5 \cdot 3}}{5}$

Этап 2.5.2.4.5.2

Умножим $5$ на $3$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Этап 2.5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Этап 2.5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Этап 2.5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (5 x^{2} - 12) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}) \cup (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0) \cup (0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}) \cup (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.5491934$ .

$f' (- 2.5491934) = 5 {(- 2.5491934)}^{4} - 12 {(- 2.5491934)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 2.5491934$ в степень $4$ .

$f' (- 2.5491934) = 5 \cdot 42.22903347 - 12 {(- 2.5491934)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $5$ на $42.22903347$ .

$f' (- 2.5491934) = 211.14516739 - 12 {(- 2.5491934)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 2.5491934$ в степень $2$ .

$f' (- 2.5491934) = 211.14516739 - 12 \cdot 6.49838699$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 12$ на $6.49838699$ .

$f' (- 2.5491934) = 211.14516739 - 77.98064388$

Этап 5.2.2

Вычтем $77.98064388$ из $211.14516739$ .

$f' (- 2.5491934) = 133.16452351$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $133.16452351$ .

$133.16452351$

Этап 5.3

При $x = - 2.5491934$ производная имеет вид $133.16452351$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 1.5491934, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.7745967$ .

$f' (- 0.7745967) = 5 {(- 0.7745967)}^{4} - 12 {(- 0.7745967)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 0.7745967$ в степень $4$ .

$f' (- 0.7745967) = 5 \cdot 0.36000005 - 12 {(- 0.7745967)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $5$ на $0.36000005$ .

$f' (- 0.7745967) = 1.80000028 - 12 {(- 0.7745967)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 0.7745967$ в степень $2$ .

$f' (- 0.7745967) = 1.80000028 - 12 \cdot 0.60000004$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 12$ на $0.60000004$ .

$f' (- 0.7745967) = 1.80000028 - 7.20000057$

Этап 6.2.2

Вычтем $7.20000057$ из $1.80000028$ .

$f' (- 0.7745967) = - 5.40000028$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 5.40000028$ .

$- 5.40000028$

Этап 6.3

При $x = - 0.7745967$ производная имеет вид $- 5.40000028$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 1.5491934, 0)$ .

Убывание на $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.7745967$ .

$f' (0.7745967) = 5 {(0.7745967)}^{4} - 12 {(0.7745967)}^{2}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $0.7745967$ в степень $4$ .

$f' (0.7745967) = 5 \cdot 0.36000005 - 12 {(0.7745967)}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $5$ на $0.36000005$ .

$f' (0.7745967) = 1.80000028 - 12 {(0.7745967)}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $0.7745967$ в степень $2$ .

$f' (0.7745967) = 1.80000028 - 12 \cdot 0.60000004$

Этап 7.2.1.4

Умножим $- 12$ на $0.60000004$ .

$f' (0.7745967) = 1.80000028 - 7.20000057$

Этап 7.2.2

Вычтем $7.20000057$ из $1.80000028$ .

$f' (0.7745967) = - 5.40000028$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 5.40000028$ .

$- 5.40000028$

Этап 7.3

При $x = 0.7745967$ производная имеет вид $- 5.40000028$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Убывание на $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.5491934$ .

$f' (2.5491934) = 5 {(2.5491934)}^{4} - 12 {(2.5491934)}^{2}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $2.5491934$ в степень $4$ .

$f' (2.5491934) = 5 \cdot 42.22903347 - 12 {(2.5491934)}^{2}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $5$ на $42.22903347$ .

$f' (2.5491934) = 211.14516739 - 12 {(2.5491934)}^{2}$

Этап 8.2.1.3

Возведем $2.5491934$ в степень $2$ .

$f' (2.5491934) = 211.14516739 - 12 \cdot 6.49838699$

Этап 8.2.1.4

Умножим $- 12$ на $6.49838699$ .

$f' (2.5491934) = 211.14516739 - 77.98064388$

Этап 8.2.2

Вычтем $77.98064388$ из $211.14516739$ .

$f' (2.5491934) = 133.16452351$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $133.16452351$ .

$133.16452351$

Этап 8.3

При $x = 2.5491934$ производная имеет вид $133.16452351$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$

Убывание на: $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0), (0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Этап 10