Алгебра Примеры

$\ln^{2} (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\ln (x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$f' (x) = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Этап 1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 2 \ln (x) (\frac{1}{x})$

Этап 1.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{x} \cdot \ln (x)$

Этап 1.3.2

Объединим $\frac{2}{x}$ и $\ln (x)$ .

$f' (x) = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Этап 1.4

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f' (x) = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (x^{2})$ и $g (x) = x$ .

$f'' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (\ln (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = \frac{x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 2.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 2.3.2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 2.3.2.3.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 2.3.2.3.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot (2 x) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 2.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{x} \cdot x - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 2.3.4.2

Объединим $\frac{2}{x}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x}{x} - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 2.3.4.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.3.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x}{x} - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 2.3.4.3.2

Разделим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 - \ln (x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 2.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$