Алгебра Примеры

$\frac{1}{8} x^{3}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{8} y^{3}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{8} y^{3} = x$ .

$\frac{1}{8} y^{3} = x$

Этап 2.2

Умножим обе части уравнения на $8$ .

$8 (\frac{1}{8} y^{3}) = 8 x$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $8 (\frac{1}{8} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $y^{3}$ .

$8 \frac{y^{3}}{8} = 8 x$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$8 \frac{y^{3}}{8} = 8 x$

Этап 2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 8 x$

Этап 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{8 x}$

Этап 2.5

Упростим $\sqrt[3]{8 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{2^{3} x}$

Этап 2.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = 2 \sqrt[3]{x}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{8} x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 \sqrt[3]{\frac{1}{8} x^{3}}$

Этап 4.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 \sqrt[3]{\frac{1}{8} x^{3}}$

Этап 4.2.4

Объединим $\frac{1}{8}$ и $x^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8}}$

Этап 4.2.5

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{2^{3}}}$

Этап 4.2.6

Перепишем $\frac{x^{3}}{2^{3}}$ в виде ${(\frac{x}{2})}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 \sqrt[3]{{(\frac{x}{2})}^{3}}$

Этап 4.2.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 4.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 4.2.8.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (2 \sqrt[3]{x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (2 \sqrt[3]{x}) = \frac{1}{8} \cdot {(2 \sqrt[3]{x})}^{3}$

Этап 4.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt[3]{x}$ .

$f (2 \sqrt[3]{x}) = \frac{1}{8} \cdot (2^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3})$

Этап 4.3.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2 \sqrt[3]{x}) = \frac{1}{8} \cdot (8 {\sqrt[3]{x}}^{3})$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $8$ из $8 {\sqrt[3]{x}}^{3}$ .

$f (2 \sqrt[3]{x}) = \frac{1}{8} \cdot (8 ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Этап 4.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (2 \sqrt[3]{x}) = \frac{1}{8} \cdot (8 {\sqrt[3]{x}}^{3})$

Этап 4.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (2 \sqrt[3]{x}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Этап 4.3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{x}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Этап 4.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[3]{x}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Этап 4.3.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (2 \sqrt[3]{x}) = x^{\frac{3}{3}}$

Этап 4.3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (2 \sqrt[3]{x}) = x^{\frac{3}{3}}$

Этап 4.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (2 \sqrt[3]{x}) = x$

Этап 4.3.5.5

Упростим.

$f (2 \sqrt[3]{x}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{8} x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x}$