Алгебра Примеры

$y = 3 x e^{- k x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d k} (y) = \frac{d}{d k} (3 x e^{- k x})$

Этап 2

Поскольку $y$ является константой относительно $k$ , производная $y$ относительно $k$ равна $0$ .

$0$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $k$ , производная $3 x e^{- k x}$ по $k$ равна $3 \frac{d}{d k} [x e^{- k x}]$ .

$3 \frac{d}{d k} [x e^{- k x}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ имеет вид $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ , где $f (k) = x$ и $g (k) = e^{- k x}$ .

$3 (x \frac{d}{d k} [e^{- k x}] + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ имеет вид $f' (g (k)) g' (k)$ , где $f (k) = e^{k}$ и $g (k) = - k x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- k x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- k x$ .

$3 (x (e^{- k x} \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $k$ , производная $- k x$ по $k$ равна $- \frac{d}{d k} [k x]$ .

$3 (x (e^{- k x} (- \frac{d}{d k} [k x])) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Этап 3.5

$3 (x (e^{- k x} (- (k \frac{d}{d k} [x] + x \frac{d}{d k} [k]))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Этап 3.6

Перепишем $\frac{d}{d k} [x]$ в виде $x'$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x \frac{d}{d k} [k]))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ имеет вид $n k^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x \cdot 1))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Этап 3.8

Умножим $x$ на $1$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Этап 3.9

Перепишем $\frac{d}{d k} [x]$ в виде $x'$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x))) + e^{- k x} x')$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x') - x)) + e^{- k x} x')$

Этап 3.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x')) + e^{- k x} (- x)) + e^{- k x} x')$

Этап 3.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x'))) + x (e^{- k x} (- x)) + e^{- k x} x')$

Этап 3.10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x')))) + 3 (x (e^{- k x} (- x))) + 3 (e^{- k x} x')$

Этап 3.10.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 (x (e^{- k x} (k x'))) + 3 (x (e^{- k x} (- x))) + 3 (e^{- k x} x')$

Этап 3.10.5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1} x (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Этап 3.10.5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1} x^{1} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Этап 3.10.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1 + 1} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Этап 3.10.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Этап 3.10.5.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- k x}$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (- 1 \cdot e^{- k x})) + 3 (e^{- k x} x')$

Этап 3.10.5.7

Перепишем $- 1 e^{- k x}$ в виде $- e^{- k x}$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (- e^{- k x})) + 3 (e^{- k x} x')$

Этап 3.10.5.8

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) - 3 x^{2} e^{- k x} + 3 e^{- k x} x'$

Этап 3.10.6

Изменим порядок членов.

$- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$0 = - 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x' = 0$ .

$- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x' = 0$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$ .

$- 3 k x x' e^{- k x} - 3 x^{2} e^{- k x} + 3 x' e^{- k x} = 0$

Этап 5.3

Добавим $3 x^{2} e^{- k x}$ к обеим частям уравнения.

$- 3 k x x' e^{- k x} + 3 x' e^{- k x} = 3 x^{2} e^{- k x}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $3 x' e^{- k x}$ из $- 3 k x x' e^{- k x} + 3 x' e^{- k x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $3 x' e^{- k x}$ из $- 3 k x x' e^{- k x}$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} = 3 x^{2} e^{- k x}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $3 x' e^{- k x}$ из $3 x' e^{- k x}$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} \cdot 1 = 3 x^{2} e^{- k x}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $3 x' e^{- k x}$ из $3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} \cdot 1$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$ на $3 e^{- k x} (- k x + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$ на $3 e^{- k x} (- k x + 1)$ .

$\frac{3 x' e^{- k x} (- k x + 1)}{3 e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x' e^{- k x} (- k x + 1)}{3 e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' e^{- k x} (- k x + 1)}{e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $e^{- k x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' e^{- k x} (- k x + 1)}{e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Этап 5.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (- k x + 1)}{- k x + 1} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Этап 5.5.2.3

Сократим общий множитель $- k x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (- k x + 1)}{- k x + 1} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Этап 5.5.2.3.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Этап 5.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{x^{2} e^{- k x}}{e^{- k x} (- k x + 1)}$

Этап 5.5.3.2

Сократим общий множитель $e^{- k x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{x^{2} e^{- k x}}{e^{- k x} (- k x + 1)}$

Этап 5.5.3.2.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{x^{2}}{- k x + 1}$

Этап 5.5.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- k x$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x) + 1}$

Этап 5.5.3.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x) - 1 (- 1)}$

Этап 5.5.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (k x) - 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x - 1)}$

Этап 5.5.3.6

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.6.1

Перепишем $- (k x - 1)$ в виде $- 1 (k x - 1)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- 1 (k x - 1)}$

Этап 5.5.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{x^{2}}{k x - 1}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d k}$ .

$\frac{d x}{d k} = - \frac{x^{2}}{k x - 1}$