Алгебра Примеры

$r = m^{2} (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d r} (r) = \frac{d}{d r} (m^{2} (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}))$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ имеет вид $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ , где $f (r) = m^{2}$ и $g (r) = \frac{c}{2} - \frac{m}{3}$ .

$m^{2} \frac{d}{d r} [\frac{c}{2} - \frac{m}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $\frac{c}{2} - \frac{m}{3}$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}]$ .

$m^{2} (\frac{d}{d r} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Этап 3.2.2

Поскольку $\frac{c}{2}$ является константой относительно $r$ , производная $\frac{c}{2}$ относительно $r$ равна $0$ .

$m^{2} (0 + \frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}]$ .

$m^{2} \frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Этап 3.2.4

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $r$ , производная $- \frac{m}{3}$ по $r$ равна $- \frac{1}{3} \frac{d}{d r} [m]$ .

$m^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d r} [m]) + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Этап 3.2.5

Объединим $m^{2}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{m^{2}}{3} \frac{d}{d r} [m] + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d r} [m]$ в виде $m'$ .

$- \frac{m^{2}}{3} m' + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Этап 3.4

Объединим $m'$ и $\frac{m^{2}}{3}$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ имеет вид $f' (g (r)) g' (r)$ , где $f (r) = r^{2}$ и $g (r) = m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $m$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d r} [m])$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) (2 u \frac{d}{d r} [m])$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $m$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) (2 m \frac{d}{d r} [m])$

Этап 3.6

Перенесем $2$ влево от $\frac{c}{2} - \frac{m}{3}$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + 2 \cdot (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) m \frac{d}{d r} [m]$

Этап 3.7

Перепишем $\frac{d}{d r} [m]$ в виде $m'$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + 2 (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) m m'$

Этап 3.8

Изменим порядок множителей в $2 (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) m m'$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + 2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})$

Этап 3.9

Чтобы записать $2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + 2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.10

Объединим $2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + \frac{2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \cdot 3}{3}$

Этап 3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- m' m^{2} + 2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \cdot 3}{3}$

Этап 3.12

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{- m' m^{2} + 6 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})}{3}$

Этап 3.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- m' m^{2} + 6 m m' \frac{c}{2} + 6 m m' (- \frac{m}{3})}{3}$

Этап 3.13.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 m m'$ .

$\frac{- m' m^{2} + 2 (3 m m') \frac{c}{2} + 6 m m' (- \frac{m}{3})}{3}$

Этап 3.13.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- m' m^{2} + 2 (3 m m') \frac{c}{2} + 6 m m' (- \frac{m}{3})}{3}$

Этап 3.13.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 6 m m' (- \frac{m}{3})}{3}$

Этап 3.13.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{m}{3}$ в числитель.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 6 m m' \frac{- m}{3}}{3}$

Этап 3.13.2.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $6 m m'$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 3 (2 m m') \frac{- m}{3}}{3}$

Этап 3.13.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 3 (2 m m') \frac{- m}{3}}{3}$

Этап 3.13.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 2 m m' (- m)}{3}$

Этап 3.13.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 m m' m}{3}$

Этап 3.13.2.1.4

Возведем $m$ в степень $1$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 (m^{1} m) m'}{3}$

Этап 3.13.2.1.5

Возведем $m$ в степень $1$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 (m^{1} m^{1}) m'}{3}$

Этап 3.13.2.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 m^{1 + 1} m'}{3}$

Этап 3.13.2.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 m^{2} m'}{3}$

Этап 3.13.2.2

Вычтем $2 m^{2} m'$ из $- m' m^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.2.1

Перенесем $m'$ .

$\frac{- m^{2} m' - 2 m^{2} m' + 3 m m' c}{3}$

Этап 3.13.2.2.2

Вычтем $2 m^{2} m'$ из $- m^{2} m'$ .

$\frac{- 3 m^{2} m' + 3 m m' c}{3}$

Этап 3.13.2.3

Изменим порядок множителей в $- 3 m^{2} m' + 3 m m' c$ .

$\frac{- 3 m^{2} m' + 3 m c m'}{3}$

Этап 3.13.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 3 m^{2} m' + 3 c m m'}{3}$

Этап 3.13.4

Вынесем множитель $3 m m'$ из $- 3 m^{2} m' + 3 c m m'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.4.1

Вынесем множитель $3 m m'$ из $- 3 m^{2} m'$ .

$\frac{3 m m' (- m) + 3 c m m'}{3}$

Этап 3.13.4.2

Вынесем множитель $3 m m'$ из $3 c m m'$ .

$\frac{3 m m' (- m) + 3 m m' (c)}{3}$

Этап 3.13.4.3

Вынесем множитель $3 m m'$ из $3 m m' (- m) + 3 m m' (c)$ .

$\frac{3 m m' (- m + c)}{3}$

Этап 3.13.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 m m' (- m + c)}{3}$

Этап 3.13.5.2

Разделим $m m' (- m + c)$ на $1$ .

$m m' (- m + c)$

Этап 3.13.6

Применим свойство дистрибутивности.

$m m' (- m) + m m' c$

Этап 3.13.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- m m' m + m m' c$

Этап 3.13.8

Умножим $m$ на $m$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.8.1

Перенесем $m$ .

$- (m \cdot m) m' + m m' c$

Этап 3.13.8.2

Умножим $m$ на $m$ .

$- m^{2} m' + m m' c$

Этап 3.13.9

Изменим порядок множителей в $- m^{2} m' + m m' c$ .

$- m^{2} m' + m c m'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = - m^{2} m' + m c m'$

Этап 5

Решим относительно $m'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- m^{2} m' + m c m' = 1$ .

$- m^{2} m' + m c m' = 1$

Этап 5.2

Вынесем множитель $m m'$ из $- m^{2} m' + m c m'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $m m'$ из $- m^{2} m'$ .

$m m' (- m) + m c m' = 1$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $m m'$ из $m c m'$ .

$m m' (- m) + m m' c = 1$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $m m'$ из $m m' (- m) + m m' c$ .

$m m' (- m + c) = 1$

Этап 5.3

Разделим каждый член $m m' (- m + c) = 1$ на $m (- m + c)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $m m' (- m + c) = 1$ на $m (- m + c)$ .

$\frac{m m' (- m + c)}{m (- m + c)} = \frac{1}{m (- m + c)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{m m' (- m + c)}{m (- m + c)} = \frac{1}{m (- m + c)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{m' (- m + c)}{- m + c} = \frac{1}{m (- m + c)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $- m + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{m' (- m + c)}{- m + c} = \frac{1}{m (- m + c)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $m'$ на $1$ .

$m' = \frac{1}{m (- m + c)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- m$ .

$m' = \frac{1}{m (- (m) + c)}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $c$ .

$m' = \frac{1}{m (- (m) - 1 (- c))}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (m) - 1 (- c)$ .

$m' = \frac{1}{m (- (m - c))}$

Этап 5.3.3.4

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Перепишем $- (m - c)$ в виде $- 1 (m - c)$ .

$m' = \frac{1}{m (- 1 (m - c))}$

Этап 5.3.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$m' = - \frac{1}{m (m - c)}$

Этап 6

Заменим $m'$ на $\frac{d m}{d r}$ .

$\frac{d m}{d r} = - \frac{1}{m (m - c)}$