Алгебра Примеры

$y = 3 x e^{- k x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (3 x e^{- k x})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 x e^{- k x}$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [x e^{- k x}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x e^{- k x}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x$ и $g (y) = e^{- k x}$ .

$3 (x \frac{d}{d y} [e^{- k x}] + e^{- k x} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = - k x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- k x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d y} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- k x$ .

$3 (x (e^{- k x} \frac{d}{d y} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.4

Поскольку $- k$ является константой относительно $y$ , производная $- k x$ по $y$ равна $- k \frac{d}{d y} [x]$ .

$3 (x (e^{- k x} (- k \frac{d}{d y} [x])) + e^{- k x} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$3 (x (e^{- k x} (- k x')) + e^{- k x} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.6

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$3 (x (e^{- k x} (- k x')) + e^{- k x} x')$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x (e^{- k x} (- k x'))) + 3 (e^{- k x} x')$

Этап 3.7.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 e^{- k x} x'$

Этап 3.7.3

Изменим порядок членов.

$- 3 e^{- k x} k x x' + 3 e^{- k x} x'$

Этап 3.7.4

Изменим порядок множителей в $- 3 e^{- k x} k x x' + 3 e^{- k x} x'$ .

$- 3 k x e^{- k x} x' + 3 e^{- k x} x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = - 3 k x e^{- k x} x' + 3 e^{- k x} x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 k x e^{- k x} x' + 3 e^{- k x} x' = 1$ .

$- 3 k x e^{- k x} x' + 3 e^{- k x} x' = 1$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $- 3 k x e^{- k x} x' + 3 e^{- k x} x'$ .

$- 3 k x x' e^{- k x} + 3 x' e^{- k x} = 1$

Этап 5.3

Вынесем множитель $3 x' e^{- k x}$ из $- 3 k x x' e^{- k x} + 3 x' e^{- k x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $3 x' e^{- k x}$ из $- 3 k x x' e^{- k x}$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} = 1$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $3 x' e^{- k x}$ из $3 x' e^{- k x}$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} \cdot 1 = 1$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $3 x' e^{- k x}$ из $3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} \cdot 1$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 1$

Этап 5.4

Разделим каждый член $3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 1$ на $3 e^{- k x} (- k x + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 1$ на $3 e^{- k x} (- k x + 1)$ .

$\frac{3 x' e^{- k x} (- k x + 1)}{3 e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{1}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x' e^{- k x} (- k x + 1)}{3 e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{1}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' e^{- k x} (- k x + 1)}{e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{1}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $e^{- k x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' e^{- k x} (- k x + 1)}{e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{1}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Этап 5.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (- k x + 1)}{- k x + 1} = \frac{1}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Этап 5.4.2.3

Сократим общий множитель $- k x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (- k x + 1)}{- k x + 1} = \frac{1}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Этап 5.4.2.3.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{1}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- k x$ .

$x' = \frac{1}{3 e^{- k x} (- (k x) + 1)}$

Этап 5.4.3.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{1}{3 e^{- k x} (- (k x) - 1 (- 1))}$

Этап 5.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (k x) - 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{1}{3 e^{- k x} (- (k x - 1))}$

Этап 5.4.3.4

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.4.1

Перепишем $- (k x - 1)$ в виде $- 1 (k x - 1)$ .

$x' = \frac{1}{3 e^{- k x} (- 1 (k x - 1))}$

Этап 5.4.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{1}{(3 e^{- k x}) (k x - 1)}$

Этап 5.4.3.4.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{1}{(3 e^{- k x}) (k x - 1)}$ .

$x' = - \frac{1}{3 e^{- k x} (k x - 1)}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{1}{3 e^{- k x} (k x - 1)}$