Алгебра Примеры

${(x^{2} + y^{2})}^{3} = 8 x^{2} y^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{3}) = \frac{d}{d x} (8 x^{2} y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + y^{2}$ .

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 x + 2 y y')$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{2} y^{2}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y^{2}$ .

$8 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$8 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$8 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.4

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$8 (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$8 (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Этап 3.7

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$8 (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (2 x^{2} y y') + 8 (2 y^{2} x)$

Этап 3.8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Умножим $2$ на $8$ .

$16 (x^{2} y y') + 8 (2 y^{2} x)$

Этап 3.8.2.2

Умножим $2$ на $8$ .

$16 x^{2} y y' + 16 y^{2} x$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 x + 2 y y') = 16 x^{2} y y' + 16 y^{2} x$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 x + 2 y y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + 3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 x + 2 y y') = 16 x^{2} y y' + 16 y^{2} x$

Этап 5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 x + 2 y y') = 16 x^{2} y y' + 16 y^{2} x$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 x) + 3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 y y') = 16 x^{2} y y' + 16 y^{2} x$

Этап 5.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \cdot 2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} x + 3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 y y') = 16 x^{2} y y' + 16 y^{2} x$

Этап 5.1.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$3 \cdot 2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} x + 6 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (y y') = 16 x^{2} y y' + 16 y^{2} x$

Этап 5.1.4.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 {(x^{2} + y^{2})}^{2} x + 6 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (y y') = 16 x^{2} y y' + 16 y^{2} x$

Этап 5.1.4.4

Изменим порядок множителей в $6 {(x^{2} + y^{2})}^{2} x + 6 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (y y')$ .

$6 x {(x^{2} + y^{2})}^{2} + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 16 x^{2} y y' + 16 y^{2} x$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $y'$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $16 x^{2} y y'$ из обеих частей уравнения.

$6 x {(x^{2} + y^{2})}^{2} + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ в виде $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ .

$6 x ((x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})) + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.2

Развернем $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x (x^{2} (x^{2} + y^{2}) + y^{2} (x^{2} + y^{2})) + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x (x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} (x^{2} + y^{2})) + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x (x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}) + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x (x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}) + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$6 x (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}) + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.3.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2 + 2}) + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.3.1.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$6 x (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4}) + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.3.2

Добавим $x^{2} y^{2}$ и $y^{2} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.2.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $x^{2}$ .

$6 x (x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{4}) + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.3.2.2

Добавим $x^{2} y^{2}$ и $x^{2} y^{2}$ .

$6 x (x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}) + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x \cdot x^{4} + 6 x (2 x^{2} y^{2}) + 6 x y^{4} + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1.1

Перенесем $x^{4}$ .

$6 (x^{4} x) + 6 x (2 x^{2} y^{2}) + 6 x y^{4} + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.5.1.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 (x^{4} x^{1}) + 6 x (2 x^{2} y^{2}) + 6 x y^{4} + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{4 + 1} + 6 x (2 x^{2} y^{2}) + 6 x y^{4} + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.5.1.3

Добавим $4$ и $1$ .

$6 x^{5} + 6 x (2 x^{2} y^{2}) + 6 x y^{4} + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$6 x^{5} + 6 (x^{2} x) (2 y^{2}) + 6 x y^{4} + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.5.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 x^{5} + 6 (x^{2} x^{1}) (2 y^{2}) + 6 x y^{4} + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.5.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{5} + 6 x^{2 + 1} (2 y^{2}) + 6 x y^{4} + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.5.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$6 x^{5} + 6 x^{3} (2 y^{2}) + 6 x y^{4} + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{5} + 6 \cdot 2 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.6.2

Умножим $6$ на $2$ .

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.7

Перепишем ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ в виде $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ .

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' ((x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})) - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.8

Развернем $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' (x^{2} (x^{2} + y^{2}) + y^{2} (x^{2} + y^{2})) - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' (x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} (x^{2} + y^{2})) - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' (x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}) - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.9.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.9.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' (x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}) - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.9.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}) - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.9.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.9.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2 + 2}) - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.9.1.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4}) - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.9.2

Добавим $x^{2} y^{2}$ и $y^{2} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.9.2.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $x^{2}$ .

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' (x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{4}) - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.9.2.2

Добавим $x^{2} y^{2}$ и $x^{2} y^{2}$ .

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' (x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}) - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.10

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' x^{4} + 6 y y' (2 x^{2} y^{2}) + 6 y y' y^{4} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.11.1

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.11.1.1

Перенесем $y^{2}$ .

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' x^{4} + 6 (y^{2} y) y' (2 x^{2}) + 6 y y' y^{4} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.11.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.11.1.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' x^{4} + 6 (y^{2} y^{1}) y' (2 x^{2}) + 6 y y' y^{4} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.11.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' x^{4} + 6 y^{2 + 1} y' (2 x^{2}) + 6 y y' y^{4} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.11.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' x^{4} + 6 y^{3} y' (2 x^{2}) + 6 y y' y^{4} - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.11.2

Умножим $y$ на $y^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.11.2.1

Перенесем $y^{4}$ .

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' x^{4} + 6 y^{3} y' (2 x^{2}) + 6 (y^{4} y) y' - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.11.2.2

Умножим $y^{4}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.11.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' x^{4} + 6 y^{3} y' (2 x^{2}) + 6 (y^{4} y^{1}) y' - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.11.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' x^{4} + 6 y^{3} y' (2 x^{2}) + 6 y^{4 + 1} y' - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.11.2.3

Добавим $4$ и $1$ .

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' x^{4} + 6 y^{3} y' (2 x^{2}) + 6 y^{5} y' - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.2.2.12

Умножим $2$ на $6$ .

$6 x^{5} + 12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' x^{4} + 12 y^{3} y' x^{2} + 6 y^{5} y' - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $6 x^{5}$ из обеих частей уравнения.

$12 x^{3} y^{2} + 6 x y^{4} + 6 y y' x^{4} + 12 y^{3} y' x^{2} + 6 y^{5} y' - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x - 6 x^{5}$

Этап 5.3.2

Вычтем $12 x^{3} y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$6 x y^{4} + 6 y y' x^{4} + 12 y^{3} y' x^{2} + 6 y^{5} y' - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x - 6 x^{5} - 12 x^{3} y^{2}$

Этап 5.3.3

Вычтем $6 x y^{4}$ из обеих частей уравнения.

$6 y y' x^{4} + 12 y^{3} y' x^{2} + 6 y^{5} y' - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x - 6 x^{5} - 12 x^{3} y^{2} - 6 x y^{4}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $2 y y'$ из $6 y y' x^{4} + 12 y^{3} y' x^{2} + 6 y^{5} y' - 16 x^{2} y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $2 y y'$ из $6 y y' x^{4}$ .

$2 y y' (3 x^{4}) + 12 y^{3} y' x^{2} + 6 y^{5} y' - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x - 6 x^{5} - 12 x^{3} y^{2} - 6 x y^{4}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $12 y^{3} y' x^{2}$ .

$2 y y' (3 x^{4}) + 2 y y' (6 y^{2} x^{2}) + 6 y^{5} y' - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x - 6 x^{5} - 12 x^{3} y^{2} - 6 x y^{4}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $6 y^{5} y'$ .

$2 y y' (3 x^{4}) + 2 y y' (6 y^{2} x^{2}) + 2 y y' (3 y^{4}) - 16 x^{2} y y' = 16 y^{2} x - 6 x^{5} - 12 x^{3} y^{2} - 6 x y^{4}$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $2 y y'$ из $- 16 x^{2} y y'$ .

$2 y y' (3 x^{4}) + 2 y y' (6 y^{2} x^{2}) + 2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' (- 8 x^{2}) = 16 y^{2} x - 6 x^{5} - 12 x^{3} y^{2} - 6 x y^{4}$

Этап 5.4.5

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' (3 x^{4}) + 2 y y' (6 y^{2} x^{2})$ .

$2 y y' (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2}) + 2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' (- 8 x^{2}) = 16 y^{2} x - 6 x^{5} - 12 x^{3} y^{2} - 6 x y^{4}$

Этап 5.4.6

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2}) + 2 y y' (3 y^{4})$ .

$2 y y' (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4}) + 2 y y' (- 8 x^{2}) = 16 y^{2} x - 6 x^{5} - 12 x^{3} y^{2} - 6 x y^{4}$

Этап 5.4.7

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4}) + 2 y y' (- 8 x^{2})$ .

$2 y y' (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}) = 16 y^{2} x - 6 x^{5} - 12 x^{3} y^{2} - 6 x y^{4}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $2 y y' (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}) = 16 y^{2} x - 6 x^{5} - 12 x^{3} y^{2} - 6 x y^{4}$ на $2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $2 y y' (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}) = 16 y^{2} x - 6 x^{5} - 12 x^{3} y^{2} - 6 x y^{4}$ на $2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})$ .

$\frac{2 y y' (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} = \frac{16 y^{2} x}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x^{5}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 12 x^{3} y^{2}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} = \frac{16 y^{2} x}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x^{5}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 12 x^{3} y^{2}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} = \frac{16 y^{2} x}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x^{5}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 12 x^{3} y^{2}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.2.3

Сократим общий множитель $3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.5.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{16 y^{2} x}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x^{5}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 12 x^{3} y^{2}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $16 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (8 y^{2} x)}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x^{5}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 12 x^{3} y^{2}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})$ .

$y' = \frac{2 (8 y^{2} x)}{2 (y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}))} + \frac{- 6 x^{5}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 12 x^{3} y^{2}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 5.5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{8 y^{2} x}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x^{5}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 12 x^{3} y^{2}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $8 y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (8 y x)}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x^{5}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 12 x^{3} y^{2}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.5.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} + \frac{- 6 x^{5}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 12 x^{3} y^{2}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.3

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{5}$ .

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} + \frac{2 (- 3 x^{5})}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 12 x^{3} y^{2}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})$ .

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} + \frac{2 (- 3 x^{5})}{2 (y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}))} + \frac{- 12 x^{3} y^{2}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 5.5.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} + \frac{- 3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 12 x^{3} y^{2}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 12 x^{3} y^{2}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.5

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12 x^{3} y^{2}$ .

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{2 (- 6 x^{3} y^{2})}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})$ .

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{2 (- 6 x^{3} y^{2})}{2 (y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}))} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 5.5.3.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x^{3} y^{2}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.6

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.6.1

Вынесем множитель $y$ из $- 6 x^{3} y^{2}$ .

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{y (- 6 x^{3} y)}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.6.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.5.3.1.6.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} + \frac{- 6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} + \frac{- 6 x y^{4}}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.8

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x y^{4}$ .

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} + \frac{2 (- 3 x y^{4})}{2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})$ .

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} + \frac{2 (- 3 x y^{4})}{2 (y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}))}$

Этап 5.5.3.1.8.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} + \frac{2 (- 3 x y^{4})}{2 (y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}))}$

Этап 5.5.3.1.8.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} + \frac{- 3 x y^{4}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.9

Сократим общий множитель $y^{4}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.9.1

Вынесем множитель $y$ из $- 3 x y^{4}$ .

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} + \frac{y (- 3 x y^{3})}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.9.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} + \frac{y (- 3 x y^{3})}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.1.9.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} + \frac{- 3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.2

Чтобы записать $\frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}) y$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.3.1

Умножим $\frac{8 y x}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$ на $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{8 y x y}{(3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}) y} - \frac{3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}) y$ .

$y' = \frac{8 y x y}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{8 y x y - 3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $8 y x y - 3 x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $8 y x y$ .

$y' = \frac{x (8 y \cdot y) - 3 x^{5}}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{5}$ .

$y' = \frac{x (8 y \cdot y) + x (- 3 x^{4})}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (8 y \cdot y) + x (- 3 x^{4})$ .

$y' = \frac{x (8 y \cdot y - 3 x^{4})}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.5.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.5.2.1

Перенесем $y$ .

$y' = \frac{x (8 (y \cdot y) - 3 x^{4})}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.5.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4})}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.6

Чтобы записать $- \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4})}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.7.1

Умножим $\frac{6 x^{3} y}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$ на $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4})}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y \cdot y}{(3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}) y} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.7.2

Изменим порядок множителей в $(3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}) y$ .

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4})}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{6 x^{3} y \cdot y}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4}) - 6 x^{3} y \cdot y}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.9.1

Вынесем множитель $x$ из $x (8 y^{2} - 3 x^{4}) - 6 x^{3} y \cdot y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.9.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 6 x^{3} y \cdot y$ .

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4}) + x (- 6 x^{2} y \cdot y)}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.9.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x (8 y^{2} - 3 x^{4}) + x (- 6 x^{2} y \cdot y)$ .

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4} - 6 x^{2} y \cdot y)}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.9.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.9.2.1

Перенесем $y$ .

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4} - 6 x^{2} (y \cdot y))}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.9.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4} - 6 x^{2} y^{2})}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$

Этап 5.5.3.10

Чтобы записать $- \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4} - 6 x^{2} y^{2})}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 5.5.3.11

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.11.1

Умножим $\frac{3 x y^{3}}{3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}}$ на $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4} - 6 x^{2} y^{2})}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{3 x y^{3} y}{(3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}) y}$

Этап 5.5.3.11.2

Изменим порядок множителей в $(3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2}) y$ .

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4} - 6 x^{2} y^{2})}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})} - \frac{3 x y^{3} y}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4} - 6 x^{2} y^{2}) - 3 x y^{3} y}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.13.1

Вынесем множитель $x$ из $x (8 y^{2} - 3 x^{4} - 6 x^{2} y^{2}) - 3 x y^{3} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.13.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x y^{3} y$ .

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4} - 6 x^{2} y^{2}) + x (- 3 y^{3} y)}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.13.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x (8 y^{2} - 3 x^{4} - 6 x^{2} y^{2}) + x (- 3 y^{3} y)$ .

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4} - 6 x^{2} y^{2} - 3 y^{3} y)}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.13.2

Умножим $y^{3}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.13.2.1

Перенесем $y$ .

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4} - 6 x^{2} y^{2} - 3 (y \cdot y^{3}))}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.13.2.2

Умножим $y$ на $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.13.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4} - 6 x^{2} y^{2} - 3 (y^{1} y^{3}))}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.13.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4} - 6 x^{2} y^{2} - 3 y^{1 + 3})}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 5.5.3.13.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$y' = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4} - 6 x^{2} y^{2} - 3 y^{4})}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (8 y^{2} - 3 x^{4} - 6 x^{2} y^{2} - 3 y^{4})}{y (3 x^{4} + 6 y^{2} x^{2} + 3 y^{4} - 8 x^{2})}$