Алгебра Примеры

$x^{3} e^{x}$

Этап 1

Запишем $x^{3} e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = x^{3} e^{x}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$

Этап 2.1.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$ .

$f' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $x^{2} e^{x}$ из $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x^{2} e^{x}$ из $x^{3} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x) + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $x^{2} e^{x}$ из $3 x^{2} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3) = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $x^{2} e^{x}$ из $x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3)$ .

$x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 3.5.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 3.5.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.5.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 3.6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$ верно.

$x = 0, - 3$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, - 3$ .

$0, - 3$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$f' (- 4) = - 64 e^{- 4} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Этап 6.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 4) = - 64 \frac{1}{e^{4}} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Этап 6.2.1.3

Объединим $- 64$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (- 4) = \frac{- 64}{e^{4}} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Этап 6.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Этап 6.2.1.5

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 3 \cdot (16 e^{- 4})$

Этап 6.2.1.6

Умножим $3$ на $16$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 48 e^{- 4}$

Этап 6.2.1.7

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 48 (\frac{1}{e^{4}})$

Этап 6.2.1.8

Объединим $48$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + \frac{48}{e^{4}}$

Этап 6.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 4) = \frac{- 64 + 48}{e^{4}}$

Этап 6.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Добавим $- 64$ и $48$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{e^{4}}$

Этап 6.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 4) = - \frac{16}{e^{4}}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{16}{e^{4}}$ .

$- \frac{16}{e^{4}}$

Этап 6.3

При $x = - 4$ производная имеет вид $- \frac{16}{e^{4}}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 3)$ .

Убывание на $(- \infty, - 3)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 3, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{3} e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3} e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 7.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}) \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{3^{3}}{2^{3}} \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2^{3}} \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 7.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 7.2.1.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 7.2.1.6

Умножим $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ на $\frac{27}{8}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 8} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 7.2.1.7

Перенесем $8$ влево от $e^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 \cdot e^{\frac{3}{2}}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 7.2.1.8

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.8.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 7.2.1.8.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 7.2.1.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 7.2.1.10

Умножим $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 7.2.1.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (\frac{9}{2^{2}}) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 7.2.1.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (\frac{9}{4}) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 7.2.1.13

Умножим $3 (\frac{9}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.13.1

Объединим $3$ и $\frac{9}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 \cdot 9}{4} \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 7.2.1.13.2

Умножим $3$ на $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4} \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 7.2.1.14

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4} \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.1.15

Объединим.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27 \cdot 1}{4 e^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.1.16

Умножим $27$ на $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $\frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8 e^{\frac{3}{2}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $\frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27 \cdot 2}{4 e^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27 \cdot 2}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 27 \cdot 2}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Умножим $27$ на $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 54}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.5.2

Добавим $- 27$ и $54$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ: $\frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.3

При $x = - \frac{3}{2}$ производная имеет вид $\frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 3, 0)$ .

Возрастание в области $(- 3, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = {(1)}^{3} e^{1} + 3 {(1)}^{2} e^{1}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 1 e + 3 {(1)}^{2} e$

Этап 8.2.1.2

Умножим $e^{1}$ на $1$ .

$f' (1) = e + 3 {(1)}^{2} e$

Этап 8.2.1.3

Упростим.

$f' (1) = e + 3 {(1)}^{2} e$

Этап 8.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = e + 3 \cdot (1 e)$

Этап 8.2.1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (1) = e + 3 e$

Этап 8.2.1.6

Упростим.

$f' (1) = e + 3 e$

Этап 8.2.2

Добавим $e$ и $3 e$ .

$f' (1) = 4 e$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $4 e$ .

$4 e$

Этап 8.3

При $x = 1$ производная имеет вид $4 e$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 3, 0), (0, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - 3)$

Этап 10