Алгебра Примеры

$4 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108 = 0$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm 36, \pm 54, \pm 108$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm \frac{27}{2}, \pm \frac{27}{4}, \pm 36, \pm 54, \pm 108$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$4 {(3)}^{4} - 18 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$4 \cdot 81 - 18 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Этап 4.1.2

Умножим $4$ на $81$ .

$324 - 18 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Этап 4.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$324 - 18 \cdot 27 + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Этап 4.1.4

Умножим $- 18$ на $27$ .

$324 - 486 + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Этап 4.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$324 - 486 + 42 \cdot 9 - 108 \cdot 3 + 108$

Этап 4.1.6

Умножим $42$ на $9$ .

$324 - 486 + 378 - 108 \cdot 3 + 108$

Этап 4.1.7

Умножим $- 108$ на $3$ .

$324 - 486 + 378 - 324 + 108$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $486$ из $324$ .

$- 162 + 378 - 324 + 108$

Этап 4.2.2

Добавим $- 162$ и $378$ .

$216 - 324 + 108$

Этап 4.2.3

Вычтем $324$ из $216$ .

$- 108 + 108$

Этап 4.2.4

Добавим $- 108$ и $108$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108}{x - 3}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$

	$4$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(12)$ под следующим членом делимого $(- 18)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$
	$4$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$
	$4$	$- 6$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 6)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(- 18)$ под следующим членом делимого $(42)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$
	$4$	$- 6$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$
	$4$	$- 6$	$24$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(24)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(72)$ под следующим членом делимого $(- 108)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$
	$4$	$- 6$	$24$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$
	$4$	$- 6$	$24$	$- 36$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 36)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(- 108)$ под следующим членом делимого $(108)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$	$- 108$
	$4$	$- 6$	$24$	$- 36$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$	$- 108$
	$4$	$- 6$	$24$	$- 36$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$4 x^{3} + - 6 x^{2} + (24) x - 36$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 36$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) - 6 x^{2} + 24 x - 36)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{2}$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 24 x - 36)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $24 x$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (12 x) - 36)$

Этап 7.4

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 18))$

Этап 7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 18))$

Этап 7.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (12 x)$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x) + 2 (- 18))$

Этап 7.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x) + 2 (- 18)$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 18))$

Этап 8

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 3) (2 ((2 x^{3} - 3 x^{2}) + 12 x - 18))$

Этап 8.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 3) (2 (x^{2} (2 x - 3) + 6 (2 x - 3)))$

Этап 9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 3$ .

$(x - 3) (2 ((2 x - 3) (x^{2} + 6)))$

Этап 9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 3) (2 (2 x - 3) (x^{2} + 6))$

Этап 10

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{4}$ .

$2 (2 x^{4}) - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108 = 0$

Этап 10.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 18 x^{3}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 42 x^{2} - 108 x + 108 = 0$

Этап 10.1.3

Вынесем множитель $2$ из $42 x^{2}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) - 108 x + 108 = 0$

Этап 10.1.4

Вынесем множитель $2$ из $- 108 x$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 108 = 0$

Этап 10.1.5

Вынесем множитель $2$ из $108$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 (54) = 0$

Этап 10.1.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3})$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 (54) = 0$

Этап 10.1.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{4} - 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2})$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 (54) = 0$

Этап 10.1.8

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (- 54 x)$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2} - 54 x) + 2 (54) = 0$

Этап 10.1.9

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2} - 54 x) + 2 (54)$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2} - 54 x + 54) = 0$

Этап 10.2

Перегруппируем члены.

$2 (2 x^{4} - 54 x - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Этап 10.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{4} - 54 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{4}$ .

$2 (2 x (x^{3}) - 54 x - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Этап 10.3.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 54 x$ .

$2 (2 x (x^{3}) + 2 x (- 27) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Этап 10.3.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{3}) + 2 x (- 27)$ .

$2 (2 x (x^{3} - 27) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Этап 10.4

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$2 (2 x (x^{3} - 3^{3}) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Этап 10.5

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$2 (2 x ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Этап 10.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1.1

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$2 (2 x ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Этап 10.6.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$2 (2 x ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Этап 10.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Этап 10.7

Вынесем множитель $3$ из $- 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 9 x^{3}$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3}) + 21 x^{2} + 54) = 0$

Этап 10.7.2

Вынесем множитель $3$ из $21 x^{2}$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 54) = 0$

Этап 10.7.3

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 3 (18)) = 0$

Этап 10.7.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 3 x^{3}) + 3 (7 x^{2})$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (18)) = 0$

Этап 10.7.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 3 x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (18)$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18)) = 0$

Этап 10.8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Разложим $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1.1

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 10.8.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 18, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 9, \pm 3$

Этап 10.8.1.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$- 3 \cdot 3^{3} + 7 \cdot 3^{2} + 18$

Этап 10.8.1.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- 3 \cdot 27 + 7 \cdot 3^{2} + 18$

Этап 10.8.1.3.3

Умножим $- 3$ на $27$ .

$- 81 + 7 \cdot 3^{2} + 18$

Этап 10.8.1.3.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- 81 + 7 \cdot 9 + 18$

Этап 10.8.1.3.5

Умножим $7$ на $9$ .

$- 81 + 63 + 18$

Этап 10.8.1.3.6

Добавим $- 81$ и $63$ .

$- 18 + 18$

Этап 10.8.1.3.7

Добавим $- 18$ и $18$ .

$0$

Этап 10.8.1.4

$\frac{- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18}{x - 3}$

Этап 10.8.1.5

Разделим $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$18$

Этап 10.8.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$3 x^{2}$
	$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$

Этап 10.8.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			-	$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$

Этап 10.8.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{3} + 9 x^{2}$ .

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Этап 10.8.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 10.8.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 10.8.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 10.8.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 10.8.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} + 6 x$ .

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 10.8.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$

Этап 10.8.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$

Этап 10.8.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$

Этап 10.8.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$
							-	$6 x$	+	$18$

Этап 10.8.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x + 18$ .

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$
							+	$6 x$	-	$18$

Этап 10.8.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$
							+	$6 x$	-	$18$
										$0$

Этап 10.8.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- 3 x^{2} - 2 x - 6$

Этап 10.8.1.6

Запишем $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18$ в виде набора множителей.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 ((x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Этап 10.8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)) = 0$

Этап 10.9

Вынесем множитель $x - 3$ из $2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ .

$2 ((x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9)) + 3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)) = 0$

Этап 10.9.2

Вынесем множитель $x - 3$ из $3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)$ .

$2 ((x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9)) + (x - 3) (3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Этап 10.9.3

Вынесем множитель $x - 3$ из $(x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9)) + (x - 3) (3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))$ .

$2 ((x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Этап 10.10

Применим свойство дистрибутивности.

$2 ((x - 3) (2 x \cdot x^{2} + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Этап 10.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.11.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.11.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 ((x - 3) (2 (x^{2} x) + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Этап 10.11.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.11.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 ((x - 3) (2 (x^{2} x) + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Этап 10.11.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 ((x - 3) (2 x^{2 + 1} + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Этап 10.11.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Этап 10.11.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Этап 10.11.3

Умножим $9$ на $2$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 x \cdot x) + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Этап 10.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.12.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.12.1.1

Перенесем $x$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 (x \cdot x)) + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Этап 10.12.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 x^{2}) + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Этап 10.12.2

Умножим $2$ на $3$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Этап 10.13

Применим свойство дистрибутивности.

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x + 3 (- 3 x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 6)) = 0$

Этап 10.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.14.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 6)) = 0$

Этап 10.14.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} - 6 x + 3 \cdot - 6)) = 0$

Этап 10.14.3

Умножим $3$ на $- 6$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} - 6 x - 18)) = 0$

Этап 10.15

Вычтем $9 x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} - 3 x^{2} + 18 x - 6 x - 18)) = 0$

Этап 10.16

Вычтем $6 x$ из $18 x$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 18)) = 0$

Этап 10.17

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.17.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.17.1.1

Перепишем $2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 18$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.17.1.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.17.1.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 ((x - 3) ((2 x^{3} - 3 x^{2}) + 12 x - 18)) = 0$

Этап 10.17.1.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 ((x - 3) (x^{2} (2 x - 3) + 6 (2 x - 3))) = 0$

Этап 10.17.1.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 3$ .

$2 ((x - 3) ((2 x - 3) (x^{2} + 6))) = 0$

Этап 10.17.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 ((x - 3) (2 x - 3) (x^{2} + 6)) = 0$

Этап 10.17.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x - 3) (2 x - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} + 6 = 0$

Этап 12

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 12.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 13

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 13.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 13.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 13.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 13.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 14

Приравняем $x^{2} + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем $x^{2} + 6$ к $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

Этап 14.2

Решим $x^{2} + 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 6$

Этап 14.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Этап 14.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.1

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Этап 14.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (6)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Этап 14.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Этап 14.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{6}$

Этап 14.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{6}$

Этап 14.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Этап 15

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x - 3) (2 x - 3) (x^{2} + 6) = 0$ верно.

$x = 3, \frac{3}{2}, i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Этап 16