Алгебра Примеры

$- \frac{\sqrt{2}}{3} + i$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = - \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2} + {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Единица в любой степени равна единице.

$| z | = \sqrt{1 + {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 4.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 4.2.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}})}$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + 1 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}})}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$| z | = \sqrt{1 + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}}$

Этап 4.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{1 + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Этап 4.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{1 + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Этап 4.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Этап 4.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{1 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Этап 4.4.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{1 + \frac{2}{3^{2}}}$

Этап 4.4.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{1 + \frac{2}{3^{2}}}$

Этап 4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + \frac{2}{9}}$

Этап 4.5.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$| z | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{2}{9}}$

Этап 4.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$| z | = \sqrt{\frac{9 + 2}{9}}$

Этап 4.5.4

Добавим $9$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{11}{9}}$

Этап 4.6

Перепишем $\sqrt{\frac{11}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{9}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{9}}$

Этап 4.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 4.7.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \frac{\sqrt{11}}{3}$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{3}})$

Этап 6

Поскольку обратный тангенс $\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{3}}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $2.01130698$ .

$θ = 2.01130698$

Этап 7

Подставим значения $θ = 2.01130698$ и $| z | = \frac{\sqrt{11}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{11}}{3 (\cos (2.01130698) + i \sin (2.01130698))}$