Алгебра Примеры

$f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} + 9$ и $g (x) = 81 - x^{2}$ .

$(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [81 - x^{2}] + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $81 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $81$ является константой относительно $x$ , производная $81$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} + 9) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Этап 1.1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Этап 1.1.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} + 9) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Этап 1.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} + 9) (- (2 x)) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Этап 1.1.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Этап 1.1.2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 1.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 1.1.2.9

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) (2 x + 0)$

Этап 1.1.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) (2 x)$

Этап 1.1.2.10.2

Перенесем $2$ влево от $81 - x^{2}$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + 2 \cdot (81 - x^{2}) x$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (- 2 x) + 9 (- 2 x) + 2 (81 - x^{2}) x$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (- 2 x) + 9 (- 2 x) + (2 \cdot 81 + 2 (- x^{2})) x$

Этап 1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (- 2 x) + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Этап 1.1.3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot - 2 + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Этап 1.1.3.4.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot - 2 + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Этап 1.1.3.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 2} \cdot - 2 + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Этап 1.1.3.4.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{3} \cdot - 2 + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Этап 1.1.3.4.2

Перенесем $- 2$ влево от $x^{3}$ .

$- 2 \cdot x^{3} + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Этап 1.1.3.4.3

Умножим $- 2$ на $9$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Этап 1.1.3.4.4

Умножим $2$ на $81$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x + 2 (- x^{2}) x$

Этап 1.1.3.4.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x - 2 x^{2} x$

Этап 1.1.3.4.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x - 2 (x^{1} x^{2})$

Этап 1.1.3.4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x - 2 x^{1 + 2}$

Этап 1.1.3.4.8

Добавим $1$ и $2$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x - 2 x^{3}$

Этап 1.1.3.4.9

Добавим $- 18 x$ и $162 x$ .

$- 2 x^{3} + 144 x - 2 x^{3}$

Этап 1.1.3.4.10

Вычтем $2 x^{3}$ из $- 2 x^{3}$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 144 x$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $- 4 x^{3} + 144 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [144 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [144 x]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [144 x]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [144 x]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$- 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [144 x]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [144 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $144$ является константой относительно $x$ , производная $144 x$ по $x$ равна $144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 x^{2} + 144 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 12 x^{2} + 144 \cdot 1$

Этап 1.2.3.3

Умножим $144$ на $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 144$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 12 x^{2} + 144$ .

$- 12 x^{2} + 144$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 12 x^{2} + 144 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 12 x^{2} + 144 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $144$ из обеих частей уравнения.

$- 12 x^{2} = - 144$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 12 x^{2} = - 144$ на $- 12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 12 x^{2} = - 144$ на $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 144}{- 12}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 144}{- 12}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 144}{- 12}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $- 144$ на $- 12$ .

$x^{2} = 12$

Этап 2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{12}$

Этап 2.5

Упростим $\pm \sqrt{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \pm \sqrt{4 (3)}$

Этап 2.5.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Этап 2.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 2 \sqrt{3}$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 \sqrt{3}$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 \sqrt{3}$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 \sqrt{3}$ в $f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 \sqrt{3}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = ({(2 \sqrt{3})}^{2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.1.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (4 {\sqrt{3}}^{2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.1.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.1.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.1.2.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.1.2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.1.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3 + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.1.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3 + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $4$ на $3$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (12 + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.1.2.2

Добавим $12$ и $9$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.1.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2}))$

Этап 3.1.2.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 {\sqrt{3}}^{2}))$

Этап 3.1.2.3.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}))$

Этап 3.1.2.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}))$

Этап 3.1.2.3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}))$

Этап 3.1.2.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}))$

Этап 3.1.2.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3))$

Этап 3.1.2.3.3.5

Найдем экспоненту.

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3))$

Этап 3.1.2.3.4

Умножим $- (4 \cdot 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.4.1

Умножим $4$ на $3$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - 1 \cdot 12)$

Этап 3.1.2.3.4.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - 12)$

Этап 3.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Вычтем $12$ из $81$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 \cdot 69$

Этап 3.1.2.4.2

Умножим $21$ на $69$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 1449$

Этап 3.1.2.5

Окончательный ответ: $1449$ .

$1449$

Этап 3.2

Подставляя $2 \sqrt{3}$ в $f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$ , найдем точку $(2 \sqrt{3}, 1449)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(2 \sqrt{3}, 1449)$

Этап 3.3

Подставим $- 2 \sqrt{3}$ в $f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = ({(- 2 \sqrt{3})}^{2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = ({(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 {\sqrt{3}}^{2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.3.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.3.2.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.3.2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.3.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3 + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.3.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3 + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $4$ на $3$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (12 + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.3.2.2

Добавим $12$ и $9$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Этап 3.3.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Применим правило умножения к $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - ({(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}))$

Этап 3.3.2.3.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 {\sqrt{3}}^{2}))$

Этап 3.3.2.3.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}))$

Этап 3.3.2.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}))$

Этап 3.3.2.3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}))$

Этап 3.3.2.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}))$

Этап 3.3.2.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3))$

Этап 3.3.2.3.3.5

Найдем экспоненту.

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3))$

Этап 3.3.2.3.4

Умножим $- (4 \cdot 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.4.1

Умножим $4$ на $3$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - 1 \cdot 12)$

Этап 3.3.2.3.4.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - 12)$

Этап 3.3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Вычтем $12$ из $81$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 \cdot 69$

Этап 3.3.2.4.2

Умножим $21$ на $69$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 1449$

Этап 3.3.2.5

Окончательный ответ: $1449$ .

$1449$

Этап 3.4

Подставляя $- 2 \sqrt{3}$ в $f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$ , найдем точку $(- 2 \sqrt{3}, 1449)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 2 \sqrt{3}, 1449)$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(2 \sqrt{3}, 1449), (- 2 \sqrt{3}, 1449)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 2 \sqrt{3}) \cup (- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3}) \cup (2 \sqrt{3}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3.56410161$ .

$f'' (- 3.56410161) = - 12 {(- 3.56410161)}^{2} + 144$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 3.56410161$ в степень $2$ .

$f'' (- 3.56410161) = - 12 \cdot 12.70282032 + 144$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 12$ на $12.70282032$ .

$f'' (- 3.56410161) = - 152.43384387 + 144$

Этап 5.2.2

Добавим $- 152.43384387$ и $144$ .

$f'' (- 3.56410161) = - 8.43384387$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 8.43384387$ .

$- 8.43384387$

Этап 5.3

При $- 3.56410161$ вторая производная имеет вид $- 8.43384387$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ .

Убывание на $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} + 144$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 + 144$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 12$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + 144$

Этап 6.2.2

Добавим $0$ и $144$ .

$f'' (0) = 144$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $144$ .

$144$

Этап 6.3

При $0$ вторая производная имеет вид $144$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ .

Возрастание в области $(- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(2 \sqrt{3}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.56410161$ .

$f'' (3.56410161) = - 12 {(3.56410161)}^{2} + 144$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $3.56410161$ в степень $2$ .

$f'' (3.56410161) = - 12 \cdot 12.70282032 + 144$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 12$ на $12.70282032$ .

$f'' (3.56410161) = - 152.43384387 + 144$

Этап 7.2.2

Добавим $- 152.43384387$ и $144$ .

$f'' (3.56410161) = - 8.43384387$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 8.43384387$ .

$- 8.43384387$

Этап 7.3

При $3.56410161$ вторая производная имеет вид $- 8.43384387$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(2 \sqrt{3}, \infty)$ .

Убывание на $(2 \sqrt{3}, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 2 \sqrt{3}, 1449), (2 \sqrt{3}, 1449)$ .

$(- 2 \sqrt{3}, 1449), (2 \sqrt{3}, 1449)$

Этап 9