Алгебра Примеры

$\frac{\sqrt{a} + 1}{2 \sqrt{a} - \sqrt{b}}$

Этап 1

Умножим $\frac{\sqrt{a} + 1}{2 \sqrt{a} - \sqrt{b}}$ на $\frac{2 \sqrt{a} + \sqrt{b}}{2 \sqrt{a} + \sqrt{b}}$ .

$\frac{\sqrt{a} + 1}{2 \sqrt{a} - \sqrt{b}} \cdot \frac{2 \sqrt{a} + \sqrt{b}}{2 \sqrt{a} + \sqrt{b}}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\sqrt{a} + 1}{2 \sqrt{a} - \sqrt{b}}$ на $\frac{2 \sqrt{a} + \sqrt{b}}{2 \sqrt{a} + \sqrt{b}}$ .

$\frac{(\sqrt{a} + 1) (2 \sqrt{a} + \sqrt{b})}{(2 \sqrt{a} - \sqrt{b}) (2 \sqrt{a} + \sqrt{b})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{a} + 1) (2 \sqrt{a} + \sqrt{b})}{4 {\sqrt{a}}^{2} + 2 \sqrt{b a} - 2 \sqrt{a b} - {\sqrt{b}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(\sqrt{a} + 1) (2 \sqrt{a} + \sqrt{b})}{4 a - b}$

Этап 3

Развернем $(\sqrt{a} + 1) (2 \sqrt{a} + \sqrt{b})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{a} (2 \sqrt{a} + \sqrt{b}) + 1 (2 \sqrt{a} + \sqrt{b})}{4 a - b}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{a} (2 \sqrt{a}) + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a} + \sqrt{b})}{4 a - b}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{a} (2 \sqrt{a}) + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Этап 4.2

Умножим $2 \sqrt{a} \sqrt{a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $\sqrt{a}$ в степень $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{a}}^{1} \sqrt{a}) + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Этап 4.2.2

Возведем $\sqrt{a}$ в степень $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{a}}^{1} {\sqrt{a}}^{1}) + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Этап 4.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 {\sqrt{a}}^{1 + 1} + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Этап 4.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{a}}^{2} + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Этап 4.3

Перепишем ${\sqrt{a}}^{2}$ в виде $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{a}$ в виде $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Этап 4.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Этап 4.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 a^{1} + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Этап 4.3.5

Упростим.

$\frac{2 a + \sqrt{a} \sqrt{b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Этап 4.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 a + \sqrt{a b} + 1 (2 \sqrt{a}) + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Этап 4.5

Умножим $2 \sqrt{a}$ на $1$ .

$\frac{2 a + \sqrt{a b} + 2 \sqrt{a} + 1 \sqrt{b}}{4 a - b}$

Этап 4.6

Умножим $\sqrt{b}$ на $1$ .

$\frac{2 a + \sqrt{a b} + 2 \sqrt{a} + \sqrt{b}}{4 a - b}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{a b}$ в виде ${(a b)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a + {(a b)}^{\frac{1}{2}} + 2 \sqrt{a} + \sqrt{b}}{4 a - b}$

Этап 5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{a}$ в виде $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a + {(a b)}^{\frac{1}{2}} + 2 a^{\frac{1}{2}} + \sqrt{b}}{4 a - b}$

Этап 5.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{b}$ в виде $b^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a + {(a b)}^{\frac{1}{2}} + 2 a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Этап 5.4

Применим правило умножения к $a b$ .

$\frac{2 a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + 2 a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Этап 5.5

Перепишем $2 a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + 2 a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $a^{\frac{1}{2}}$ из $2 a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Вынесем множитель $a^{\frac{1}{2}}$ из $2 a$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}} (2 a^{\frac{1}{2}}) + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + 2 a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Этап 5.5.1.2

Вынесем множитель $a^{\frac{1}{2}}$ из $a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}} (2 a^{\frac{1}{2}}) + a^{\frac{1}{2}} (b^{\frac{1}{2}}) + 2 a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Этап 5.5.1.3

Вынесем множитель $a^{\frac{1}{2}}$ из $a^{\frac{1}{2}} (2 a^{\frac{1}{2}}) + a^{\frac{1}{2}} (b^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}} (2 a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) + 2 a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Этап 5.5.2

Пусть $u = a^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u$ вместо $a^{\frac{1}{2}}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{u (2 u) + u b^{\frac{1}{2}} + 2 u + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Этап 5.5.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 u \cdot u + u b^{\frac{1}{2}} + 2 u + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Этап 5.5.2.3

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Перенесем $u$ .

$\frac{2 (u \cdot u) + u b^{\frac{1}{2}} + 2 u + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Этап 5.5.2.3.2

Умножим $u$ на $u$ .

$\frac{2 u^{2} + u b^{\frac{1}{2}} + 2 u + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Этап 5.5.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 u^{2} + u b^{\frac{1}{2}}) + 2 u + b^{\frac{1}{2}}}{4 a - b}$

Этап 5.5.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{u (2 u + b^{\frac{1}{2}}) + 1 (2 u + b^{\frac{1}{2}})}{4 a - b}$

Этап 5.5.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + b^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 u + b^{\frac{1}{2}}) (u + 1)}{4 a - b}$

Этап 5.5.5

Заменим все вхождения $u$ на $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) (a^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 a - b}$