Алгебра Примеры

$\frac{1}{4} x^{3}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{4} y^{3}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{4} y^{3} = x$ .

$\frac{1}{4} y^{3} = x$

Этап 2.2

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{3}) = 4 x$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $4 (\frac{1}{4} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $y^{3}$ .

$4 \frac{y^{3}}{4} = 4 x$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{y^{3}}{4} = 4 x$

Этап 2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 4 x$

Этап 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{4 x}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 x}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 x}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{4} x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3}) = \sqrt[3]{4 (\frac{1}{4} x^{3})}$

Этап 4.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3}) = \sqrt[3]{\frac{4}{4} x^{3}}$

Этап 4.2.4

Объединим $\frac{4}{4}$ и $x^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3}) = \sqrt[3]{\frac{4 x^{3}}{4}}$

Этап 4.2.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим выражение $\frac{4 x^{3}}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3}) = \sqrt[3]{\frac{4 x^{3}}{4}}$

Этап 4.2.5.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3}) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Этап 4.2.5.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Этап 4.2.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[3]{4 x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[3]{4 x}) = \frac{1}{4} \cdot {(\sqrt[3]{4 x})}^{3}$

Этап 4.3.3

Перепишем ${\sqrt[3]{4 x}}^{3}$ в виде $4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4 x}$ в виде ${(4 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{4 x}) = \frac{1}{4} \cdot {({(4 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Этап 4.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{4 x}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Этап 4.3.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\sqrt[3]{4 x}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 x)}^{\frac{3}{3}}$

Этап 4.3.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[3]{4 x}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 x)}^{\frac{3}{3}}$

Этап 4.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[3]{4 x}) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Этап 4.3.3.5

Упростим.

$f (\sqrt[3]{4 x}) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$f (\sqrt[3]{4 x}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x))$

Этап 4.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[3]{4 x}) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Этап 4.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[3]{4 x}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 x}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{4} x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 x}$